[论文解读] Global approximate controllability for Schrödinger equation in higher Sobolev norms and applications

Vahagn Nersesyan|ArXiv.org|May 14, 2009

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 18被引用 15

一句话总结

该论文针对广义势能，在更高索伯列夫范数 $H^s$（$s>0$）下建立了薛定谔方程的全局近似可控性，采用了一类类似李雅普诺夫的迭代论证。证明了一维系统在零势能条件下于 $H^{5+\varepsilon}$ 范围内具有全局精确可控性，并表明随机薛定谔方程在 $L^2$ 单位球面上至多存在一个平稳测度。

ABSTRACT

We prove that the Schrödinger equation is approximately controllable in Sobolev spaces $H^s$, $s>0$ generically with respect to the potential. We give two applications of this result. First, in the case of one space dimension, combining our result with a local exact controllability property, we get the global exact controllability of the system in higher Sobolev spaces. Then we prove that the Schrödinger equation with a potential which has a random time-dependent amplitude admits at most one stationary measure on the unit sphere $S$ in $L^2 $.

研究动机与目标

• 在广义势能下，建立薛定谔方程在更高索伯列夫范数 $H^s$（$s>0$）下的全局近似可控性。
• 通过近似可控性与局部控制理论的结合，将局部精确可控性结果推广至更高正则性空间中的全局精确可控性。
• 证明随机强迫薛定谔方程在 $L^2$ 单位球面上的平稳测度唯一性。
• 分析可分势能薛定谔算子的谱性质，以支持可控性论证。
• 证明使得系统具有近似可控性的势能集合在光滑势能空间中为残集。

提出的方法

• 采用李雅普诺夫函数方法控制 $H^2$-范数，并通过迭代方案将其推广至更高索伯列夫范数。
• 应用扰动论证：对任意初态 $z_0$，构造控制 $u$ 使得 $\mathcal{V}(z(T,u)) < \mathcal{V}(z_0)$，其中 $\mathcal{V}$ 为李雅普诺夫函数。
• 利用 $\mathcal{V}$ 沿轨迹的导数，证明其值可被严格减小，从而实现迭代收敛至目标本征态。
• 结合近似可控性结果与 Beauchard 在 $H^7$ 范围内的局部精确可控性，推导出当 $m=1$、$V=0$ 且 $Q$ 为广义时，系统在 $H^{5+\varepsilon}$ 范围内具有全局精确可控性。
• 通过分析可分势能 $Q(x) = P(x_1) + R(x_2) + \cdots + R(x_m)$ 的谱性质，构造满足广义性条件的本征值配置。
• 应用解析曲线技术连接任意光滑势能，并证明在残集上，本征函数平方和不恒为零，从而确保广义性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于广义光滑势能 $Q$，薛定谔方程在 $H^s$（$s>0$）下是否具有近似可控性？
• RQ2 能否通过结合近似可控性与局部精确控制结果，在一维空间中实现 $H^{5+\varepsilon}$ 范围内的全局精确可控性？
• RQ3 具有时间依赖随机振幅的随机薛定谔方程在 $L^2$ 单位球面上是否至多存在一个平稳测度？
• RQ4 何种谱条件可确保对广义势能，本征函数平方和不恒为零？
• RQ5 使得系统具有近似可控性的势能集合在 $C^\infty(\overline{D}, \mathbb{R})$ 中是否为残集？

主要发现

• 对于广义光滑势能 $Q$，薛定谔方程在所有 $s>0$ 的 $H^s$ 范数下具有近似可控性，意味着系统可将任意初态任意接近地引导至 $-\Delta + V$ 的任一本征态。
• 当 $m=1$ 且 $V=0$ 时，系统在 $H^{5+\varepsilon}$ 范围内对广义 $Q$ 具有全局精确可控性，该结果通过结合近似可控性结果与 Beauchard 在 $H^7$ 范围内的局部精确可控性实现。
• 具有随机时间依赖振幅的随机薛定谔方程在 $L^2$ 单位球面上至多存在一个平稳测度，这是由于转移半群具有统一的弗勒勒性质且不可约。
• 使得系统具有近似可控性的势能集合 $Q$ 在 $C^\infty(\overline{D}, \mathbb{R})$ 中为残集，表明该结果具有普遍性。
• 对于任意有限个本征值与系数 $\alpha_k$，当 $Q$ 为广义时，和 $\sum_{k=1}^N \alpha_k (e_{k,Q}^D)^2$ 不恒为零，从而确保扰动论证中导数的非退化性。