[论文解读] Global aspects of the reducibility of quasiperiodic cocycles in semisimple compact Lie groups

Nikolaos Karaliolios|May 18, 2015

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 23被引用 9

一句话总结

本文在全测度频率集合上建立了光滑可约拟周期cocycle在半单紧致李群中的全局稠密性。通过能量和度数不变量，一种重整化算法将一般cocycle约化为简单模型的扰动，且借助K.A.M.-启发的方法证明了几乎所有cocycle都是几乎环面可约的，即它们可共轭至任意接近阿贝尔值cocycle的形式。

ABSTRACT

In this mémoire we study quasiperiodic cocycles in semi-simple compact Lie groups. For the greatest part of our study, we will focus ourselves to one-frequency cocyles. We will prove that $C^{\infty}$ reducible cocycles are dense in the $C^{\infty}$ topology, for a full measure set of frequencies. Moreover, we will show that every cocycle (or an appropriate iterate of it, if homotopy appears as an obstruction) is almost torus-reducible (i.e. can be conjugated arbitrarily close to cocycles taking values in an abelian subgroup of G). In the course of the proof we will firstly define two invariants of the dynamics, which we will call energy and degree and which give a preliminary distinction between (almost-)reducible and non-reducible cocycles. We will then take up the proof of the density theorem. We will show that an algorithm of renormalization converges to perturbations of simple models, indexed by the degree. Finally, we will analyze these perturbations using methods inspired by K.A.M. theory.

研究动机与目标

• 研究在典型频率条件下，半单紧致李群中拟周期cocycle的全局可约性性质。
• 建立在全测度频率集合上，$C^\infty$-可约cocycle在$C^\infty$拓扑下的稠密性。
• 证明每个cocycle（或经适当迭代后）是几乎环面可约的，即共轭至任意接近阿贝尔子群取值cocycle的形式。
• 定义并利用动力学不变量——能量与度数，以区分可约与不可约cocycle。
• 设计一种重整化方案，将一般cocycle约化为由度数索引的规则或奇异测地线模型的扰动。

提出的方法

• 为分类$\mathbb{T} \times G$中的拟周期cocycle引入两个不变量——能量与度数，其中$G$为半单紧致李群。
• 构建一个作用于$\mathbb{R} \times G$上的$\mathbb{Z}^2$-作用的重整化算法，其收敛于由度数参数化的简单模型的扰动。
• 应用K.A.M.-启发技术分析规则测地线的扰动，利用能量与傅里叶衰减的先验估计。
• 使用局部共轭引理与迭代方案，以减少共振模态，并控制重整化过程中的非线性项。
• 在K.A.M.迭代中，利用Hausdorff-Campbell公式估计（不含线性项）以控制非线性误差项。
• 证明度数在频率重整化下的可测不变性，并通过连分数展开建立其与频率的依赖关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 在全测度频率集合上，$C^\infty$-可约拟周期cocycle是否在$C^\infty$拓扑下稠密？
• RQ2 每个拟周期cocycle（经适当迭代后）是否可共轭至任意接近阿贝尔子群取值cocycle的形式？
• RQ3 在此设定下，哪些动力学不变量可区分可约与不可约cocycle？
• RQ4 重整化方案如何收敛至由度数不变量索引的模型？
• RQ5 为确保K.A.M.-型迭代的收敛性，对能量与傅里叶系数需要哪些先验估计？

主要发现

• 在全测度频率集合上，$C^\infty$-可约cocycle在$C^\infty$ cocycle空间中是$C^\infty$-稠密的。
• 每个cocycle（或经迭代以消除同伦障碍后）是几乎环面可约的，即其可共轭至任意接近阿贝尔值cocycle的形式。
• 能量与度数是良定义的、可测的，并在重整化方案下保持不变，为cocycle提供了动力学分类。
• 重整化算法收敛于规则测地线（由度数索引）的扰动，且对扰动大小具有统一控制。
• 对能量与傅里叶系数的先验估计确保了K.A.M.-启发迭代的收敛性，其界依赖于度数与频率的丢番图性质。
• K.A.M.步骤中线性化方程的解满足$\|T_N f\|_s \leq C_s (N^{(u)})^{s+3} \|g\|_{s+3}$，其中$N^{(u)} = N + N'$，从而在Sobolev范数下实现控制。