[论文解读] Global attractivity for some classes of Riemann--Liouville fractional differential systems

Hoang The Tuan, Adam Czornik+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 1, 2017

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 6被引用 3

一句话总结

该论文通过使用Bielecki型范数和Banach不动点定理，建立了多维Riemann–Liouville分数阶微分系统的解的存在性与全局吸引性。通过利用Mittag-Leffler函数的性质，证明了在系统矩阵和强迫项满足特定衰减与有界性条件时，具有时变扰动的线性系统的解会收敛到零。

ABSTRACT

In this paper, we present some results for existence of global solutions and attractivity for mulidimensional fractional differential equations involving Riemann-Liouville derivative. First, by using a Bielecki type norm and Banach fixed point theorem, we prove a Picard-Lindelöf type theorem on the existence and uniqueness of solutions. Then, applying the properties of Mittag-Leffler functions, we describe the attractivity of solutions to some classes of Riemann--Liouville linear fractional differential systems.

研究动机与目标

• 在 (0, ∞) 上建立多维Riemann–Liouville分数阶微分系统全局解的存在性与唯一性。
• 分析解的渐近行为（吸引性），特别是当 t → ∞ 时解收敛到零的情况。
• 将经典的Picard–Lindelöf理论推广至具有Riemann–Liouville导数的分数阶系统。
• 刻画线性分数阶系统在时变系数与强迫项下解全局吸引性的条件。

提出的方法

• 在空间 $ C_{1-\beta}([0, \infty), \mathbb{R}^d) $ 上使用Bielecki型范数以处理 t = 0 处的奇异性。
• 将Banach不动点定理应用于由参数变分公式导出的非线性积分算子。
• 利用Mittag-Leffler函数 $ E_{\alpha,\alpha}(\cdot) $ 表示线性化系统的基本解。
• 通过有界 $ |||E_{\alpha,\alpha}((t-\tau)^\alpha A)||| $ 的积分算子范数，建立解算子的压缩性。
• 引入加权范数 $ \|\cdot\|_w $ 以控制增长，并确保不动点论证中的收敛性。
• 通过积分估计推导出系统矩阵 A、扰动 Q(t) 和强迫项 g(t) 的吸引性充分条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，Riemann–Liouville分数阶微分系统在 (0, ∞) 上存在唯一的全局解？
• RQ2 当 t → ∞ 时，具有时变系数与强迫项的线性分数阶系统的解在什么条件下收敛到零？
• RQ3 如何利用Mittag-Leffler函数与不动点技术分析此类系统的渐近行为？
• RQ4 Bielecki型范数在证明奇异分数阶系统中解的存在性与唯一性时起到什么作用？
• RQ5 即使扰动 Q(t) 不小，但若其适当衰减，是否仍能保证解的吸引性？

主要发现

• 在Lipschitz条件与有界函数 $ L(t) $ 的假设下，初值问题 $ D_{0+}^\alpha x(t) = f(t,x(t)) $ 在 $ (0, \infty) $ 上存在唯一全局解。
• 对于形式为 $ D_{0+}^\alpha x(t) = Ax(t) + Q(t)x(t) + g(t) $ 的线性系统，若 $ \|Q(t)\| $ 有界且 $ g(t) $ 衰减足够快，则解的吸引性到零可被保证。
• 在条件 $ \frac{K 2^{2-\alpha} \Gamma(\alpha)}{\gamma^\alpha} \leq \frac{1}{4} $ 下，解算子在加权空间 $ C_{1-\alpha}^0([0,\infty), \mathbb{R}^d) $ 上是压缩的，从而确保唯一不动点。
• 推导出Mittag-Leffler函数 $ E_{\alpha,\alpha}((t-\tau)^\alpha A) $ 范数的显式估计，这对有界解算子至关重要。
• 在例5.1中，条件 $ |Q(t)| \leq \frac{1}{\sup_{t \geq 0} t^{1/2} E_{1/2}(-t^{1/2})} $ 确保积分算子范数小于1，从而保证吸引性。
• 例5.2验证了对于以 $ t^{-1} $ 速率衰减的分段定义 Q(t)，吸引性依然成立，表明该理论适用于非光滑扰动。