[论文解读] Global attractivity in almost periodic single species models

Yu. M. Myslo, V. І. Тkachenko|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2013

Nonlinear Differential Equations Analysis参考文献 9被引用 5

一句话总结

本文建立了在具有阶段结构、时滞和脉冲效应的单种群模型中，不连续几乎周期解的存在性与全局吸引性的充分条件。通过引入W-渐近几乎周期性框架，并利用变量变换将脉冲系统转化为非脉冲形式，作者证明了在涉及增长、死亡和脉冲系数的某些不等式条件下，系统表现出持久性且全局吸引的几乎周期解。

ABSTRACT

Using properties of asymptotically almost periodic solutions we prove existence theorem for piece-wise continuous almost periodic solutions of differential equations with delay and impulses. We apply these results to study almost periodic single species model with stage structure and impulses.

研究动机与目标

• 建立具有阶段结构的脉冲单种群模型中不连续几乎周期解的存在性与全局吸引性。
• 将几乎周期性理论扩展至具有脉冲的分段连续函数，提出W-渐近几乎周期解的概念。
• 利用泛函微分方程分析具有时滞的单种群模型在脉冲扰动下的长期动力学行为。
• 推导出确保在时滞和脉冲存在下正解持久性与全局吸引性的充分条件。
• 证明在特定系数不等式下，无脉冲的变换系统存在唯一的正W-几乎周期解。

提出的方法

• 为在具有均匀几乎周期性差值的离散点列处具有不连续性的分段连续函数引入W-几乎周期性的概念。
• 定义W-拓扑收敛性，用于分段连续函数序列，确保在不连续点之外的收敛性。
• 应用变换 $ x_m(t) = \omega(t)v(t) $，其中 $ \omega(t) = \prod_{0 \leq t_k < t} (1 + d_k) e^{-\sigma t} $，以消除系统中的脉冲项。
• 将脉冲系统转化为非脉冲时滞微分方程：$ \dot{v}(t) = A(t)v(t-h) + \sigma v(t) - C(t)v^2(t) $，并分析其稳定性。
• 利用比较原理，引入具有常系数的极值方程：$ \dot{v}_L(t) = A^L v_L(t-h) + \sigma v_L(t) - C^M v_L^2(t) $ 和 $ \dot{v}_M(t) = A^M v_M(t-h) + \sigma v_M(t) - C^L v_M^2(t) $，以界定解的范围。
• 应用时滞微分方程的稳定性理论，证明在条件(17)下，正平衡点具有一致渐近稳定性和全局吸引性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有阶段结构、时滞和脉冲效应的单种群模型中，何种条件下系统会存在全局吸引的几乎周期解？
• RQ2 如何将几乎周期性概念扩展至在脉冲处具有不连续性的分段连续函数？
• RQ3 何种变换可使时滞微分系统中的脉冲项被消除，同时保持动力学特性不变？
• RQ4 模型参数的何种不等式可确保正解的持久性与全局吸引性？
• RQ5 W-拓扑收敛性如何确保脉冲系统中渐近几乎周期解的存在性？

主要发现

• 当 $ \sigma + \sup_t \left( \alpha(t-h) e^{\sigma - \int_{t-h}^t \gamma(s)ds} \prod_{t-h \leq t_k < t} (1 + d_k)^{-1} \right) > 0 $ 时，系统是持久的，确保所有解在零与无穷之间保持有界。
• 若满足 $ (A^M + \sigma)C^M < 2C^L(A^L + \sigma) $，其中 $ A^L = \inf A(t) $，$ C^L = \inf C(t) $ 等，则系统存在唯一的正W-几乎周期解，且该解是全局吸引的。
• 当初始幼体种群在 $ t = 0 $ 处非负且为正时，解 $ x_m(t) $ 对所有 $ t > 0 $ 保持正值，这是由于脉冲项和时滞项的结构决定的。
• 变换变量 $ v(t) $ 满足一个非脉冲时滞方程，其解介于两个具有常系数的极值方程的解之间。
• 由于积分表达式 $ x_i(t) = \int_{t-h}^t \alpha(s)x_m(s) e^{-\int_s^t \gamma(\xi)d\xi} ds $，$ x_m(t) $ 的W-几乎周期性可推出幼体种群 $ x_i(t) $ 的W-几乎周期性。
• 当 $ A^M < \inf_t \left( C(t)(x(t) + y(t)) - \sigma \right) $ 时，解的一致渐近稳定性得以保证，该不等式在所述条件(17)下成立。