[论文解读] Global bounded and unbounded solutions to a chemotaxis system with indirect signal production

Philippe Laurençot|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2018

Mathematical Biology Tumor Growth参考文献 19被引用 30

一句话总结

本论文建立了具有间接信号产生的二维趋化系统解的全局存在性，证明了有界性的精确临界阈值：当细胞密度的初始质量 $ M $ 低于 $ 8\pi D $ 时，解保持全局有界；但当 $ M > 8\pi D $ 时，解在 $ t \to \infty $ 时变得无界。该分析依赖于一种新颖的李雅普诺夫泛函方法，将先前局限于径向对称情形的结果推广至一般二维区域。

ABSTRACT

The well-posedness of a chemotaxis system with indirect signal production in a two-dimensional domain is shown, all solutions being global unlike the classical Keller-Segel chemotaxis system. Nevertheless, there is a threshold value $M_c$ of the mass of the first component which separates two different behaviours: solutions are bounded when the mass is below $M_c$ while there are unbounded solutions starting from initial conditions having a mass exceeding $M_c$. This result extends to arbitrary two-dimensional domains a previous result of Tao \\& Winkler (2017) obtained for radially symmetric solutions to a simplified version of the model in a ball and relies on a different approach involving a Liapunov functional.

研究动机与目标

• 在二维区域中建立具有间接信号产生的趋化系统解的全局存在性，将先前局限于径向对称情形的结果加以推广。
• 识别出一个临界质量阈值 $ M_c = 8\pi D $，该阈值将有界解与无界解区分开来。
• 提出一种基于李雅普诺夫泛函的新分析方法，以克服先前比较原理方法的局限性。
• 证明当初始质量超过 $ 8\pi D $ 时，即使在非径向、一般区域中，也存在无界解。

提出的方法

• 构造一个李雅普诺夫泛函 $ \mathcal{E} $，并证明其沿解非增，从而能够分析长时间行为。
• 核心能量类量为 $ \mathcal{E}_0(u,w) = M\ln M - M\ln\|e^w\|_1 - M + |\Omega| + \frac{D}{2}\|\nabla w\|_2^2 + \frac{\delta}{2}\|w\|_2^2 $。
• 采用集中紧致性方法，构造具有任意低能量的近似初值，利用二维中嵌入 $ W^{1,2} \hookrightarrow L^\infty $ 的非紧性。
• 证明依赖于构造一列近似解 $ (u_\eta, v_\eta, w_\eta) $，使得当 $ \eta \to 0 $ 时，$ \mathcal{E}(u_\eta, v_\eta, w_\eta) \to -\infty $，从而暗示无界性。
• 该方法避免使用比较原理，转而采用泛函分析技术与 $ L^p $ 空间中的能量估计。
• 该分析被扩展至相关模型 (1.1) 和 (1.3)，表明类似的李雅普诺夫泛函存在，且阈值现象可能依然成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有间接信号产生的趋化系统是否在一般二维区域中存在全局解，而不仅限于径向对称情形？
• RQ2 是否存在一个临界质量阈值 $ M_c $，可将长期行为中的有界解与无界解区分开来？
• RQ3 能否通过泛函分析方法在非径向、一般区域中严格确立阈值 $ M_c = 8\pi D $？
• RQ4 尽管该系统与经典 Keller-Segel 模型具有相似的聚集趋势，但为何其不会发生有限时间爆破？
• RQ5 本文所采用的李雅普诺夫泛函方法是否可推广至其他具有间接信号产生的趋化模型？

主要发现

• 在任意初始数据条件下，具有间接信号产生的趋化系统在二维区域中所有解均全局定义。
• 当初始质量 $ M $ 满足 $ M < 8\pi D $ 时，解在 $ L^\infty $ 范数下保持一致有界，且与区域几何无关。
• 当 $ M > 8\pi D $ 时，存在某些初始数据使得 $ \|u(t)\|_{\infty} \to \infty $ 当 $ t \to \infty $，表明解出现无界增长。
• 阈值 $ M_c = 8\pi D $ 是精确的，将有界解与无界解严格区分开来。
• 该证明依赖于通过李雅普诺夫泛函构造具有任意负能量的初始数据，从而表明 $ L^\infty $-范数无法保持一致有界。
• 该结果将先前局限于球对称区域中径向解的研究成果，推广至 $ \mathbb{R}^2 $ 中任意光滑有界区域。