[论文解读] Global Calder\'on-Zygmund inequalities on complete Riemannian manifolds

Stefano Pigola|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 2020

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 70被引用 8

一句话总结

本文在完备黎曼流形上建立了泊松方程 $\Delta u = f$ 解的全局 $L^p$-Hessian 估计，证明在下界 Ricci 曲率和体积增长控制等几何条件下，不等式 $\|\operatorname{Hess}(u)\|_{L^p} \leq C_1\|u\|_{L^p} + C_2\|f\|_{L^p}$ 成立。文章表明，即使在有下界截面曲率的条件下，此类估计在一般情况下仍不成立，通过黎曼流形的极限空间构造了反例。

ABSTRACT

This paper is a survey of some recent results on the validity and the failure of global $W^{2,p}$ regularity properties of smooth solutions of the Poisson equation $\\Delta u = f$ on a complete Riemannian manifold $(M,g)$. We review different methods developed to obtain a-priori $L^p$-Hessian estimates of the form $\\| \\Hess(u) \\|_{L^p} \\leq C_1 \\| u \\|_{L^p} + C_2 \\| f \\|_{L^p}$ under various geometric conditions on $M$ both in the case of real valued functions and for manifold valued maps. We also present explicit and somewhat implicit counterexamples showing that, in general, this integral inequality may fail to hold even in the presence of a lower sectional curvature bound. The r\\^ole of a gradient estimate of the form $\\| \ abla u \\|_{L^{p}} \\leq C_1 \\| u \\|_{L^p} + C_2 \\| f \\|_{L^p}$, and its connections with the $L^{p}$-Hessian estimate, are also discussed.

研究动机与目标

• 研究完备黎曼流形上泊松方程 $\Delta u = f$ 解的全局 $W^{2,p}$ 正则性是否成立。
• 确定 $L^p$-Hessian 估计 $\|\operatorname{Hess}(u)\|_{L^p} \leq C_1\|u\|_{L^p} + C_2\|f\|_{L^p}$ 全局成立的几何条件。
• 通过构造显式反例，识别在曲率条件下此类估计的障碍。
• 阐明 $L^p$-梯度估计在全局设定下与 Hessian 估计之间的相互作用。
• 将经典的 Calderón-Zygmund 理论从欧氏空间推广至一般黎曼流形，分析局部估计到全局估计的过渡。

提出的方法

• 采用局部到全局的方法，通过法坐标将欧氏不等式移植到小测地球上，推导出 $L^p$-Hessian 估计。
• 利用二阶截断函数和 Sobolev 空间中的稠密性论证，从 $C_c^\infty$ 函数过渡到 $L^p$ 函数。
• 在流形上应用 Riesz 变换，通过泛函分析技术建立 $1 < p \leq 2$ 情况下的 $L^p$-Hessian 估计。
• 构造一列具有受控曲率和体积的紧致黎曼流形 $M_k$，并利用极限空间技术，导出在极限空间 $X$ 上的极限非平凡解 $u_\infty$。
• 利用一致的 $L^\infty$-有界性和利普希茨函数 $g_k$ 的渐近一致连续性，确保 $g_k$ 强收敛于 $g_\infty$ 于 $L^p$。
• 应用 Sobolev 空间和 $L^p$-梯度估计中的预紧性结果，证明 $u_k$ 在 $W^{1,p}(M_k)$ 中有界，若全局 Hessian 估计成立，则导致矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 在完备黎曼流形上，何种几何条件下，泊松方程 $\Delta u = f$ 解的全局 $L^p$-Hessian 估计 $\|\operatorname{Hess}(u)\|_{L^p} \leq C_1\|u\|_{L^p} + C_2\|f\|_{L^p}$ 成立？
• RQ2 当流形具有下界截面曲率时，全局 Calderón-Zygmund 不等式是否仍可能失效？
• RQ3 $L^p$-梯度估计在 $L^p$-Hessian 估计有效性中的作用是什么？二者在全局设定下如何关联？
• RQ4 经典欧氏空间中的 Calderón-Zygmund 理论在多大程度上可推广至一般黎曼流形？
• RQ5 是否存在超越曲率控制的内在几何障碍，阻碍全局 $L^p$-Hessian 估计的成立？

主要发现

• 即使在有下界截面曲率的条件下，泊松方程 $\Delta u = f$ 的全局 $L^p$-Hessian 估计在一般情况下也不成立。
• 通过构造一列具有统一有界曲率和体积的紧致流形 $M_k$，并使其收敛于极限空间 $X$，得到反例：方程 $\Delta u_k = g_k$ 的解 $u_k$ 在 $W^{1,p}$ 中有界，但 $\|\operatorname{Hess}(u_k)\|_{L^p}$ 无法被 $\|u_k\|_{L^p} + \|f_k\|_{L^p}$ 控制。
• 极限空间 $X$ 上的极限函数 $u_\infty$ 非常值，且满足 $\Delta u_\infty = g_\infty$，其中 $g_\infty$ 非常值，表明 $L^p$-Hessian 范数无法被 $u_\infty$ 和 $f_\infty$ 的 $L^p$-范数控制。
• 该构造依赖于 $g_k$ 的一致 $L^\infty$-有界性与强 $L^p$-收敛性，且 $g_k$ 为一致利普希茨并具有零均值。
• $L^p$-梯度估计由于曲率和直径的控制而一致有界，因此 $\|\nabla u_k\|_{L^p} \leq C_1$ 且 $\|u_k\|_{L^p} \leq C_2$，但 Hessian 范数仍无界。
• 通过反证法证明了全局 Calderón-Zygmund 不等式的失效：若估计成立，则极限函数 $u_\infty$ 必须为常值，与 $g_\infty$ 的非平庸性矛盾。