[论文解读] Global Classical Large Solutions to Navier-Stokes Equations for Viscous Compressible and Heat Conducting Fluids with Vacuum

Huanyao Wen, Changjiang Zhu|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2011

Navier-Stokes equation solutions参考文献 11被引用 7

一句话总结

本文证明了在一维全纳维-斯托克斯方程中，对于具有大初始数据和真空的黏性、可压缩、导热流体，全局经典解的存在性与唯一性。通过能量法与Gronwall型不等式导出密度和速度的精确$H^4$正则性估计，克服了由真空引起的强非线性和退化性挑战，这是该设定下经典解的首个此类结果。

ABSTRACT

In this paper, we consider the 1D Navier-Stokes equations for viscous compressible and heat conducting fluids (i.e., the full Navier-Stokes equations). We get a unique global classical solution to the equations with large initial data and vacuum. Because of the strong nonlinearity and degeneration of the equations brought by the temperature equation and by vanishing of density (i.e., appearance of vacuum) respectively, to our best knowledge, there are only two results until now about global existence of solutions to the full Navier-Stokes equations with special pressure, viscosity and heat conductivity when vacuum appears (see \cite{Feireisl-book} where the viscosity $ μ=$const and the so-called {\em variational} solutions were obtained, and see \cite{Bresch-Desjardins} where the viscosity $ μ=μ(ρ)$ degenerated when the density vanishes and the global weak solutions were got). It is open whether the global strong or classical solutions exist. By applying our ideas which were used in our former paper \cite{Ding-Wen-Zhu} to get $H^3-$estimates of $u$ and $θ$ (see Lemma ef{non-le:3.14}, Lemma ef{non-le:3.15}, Lemma ef{non-rle:3.12} and the corresponding corollaries), we get the existence and uniqueness of the global classical solutions (see Theorem ef{non-rth:1.1}).

研究动机与目标

• 证明一维全纳维-斯托克斯方程在具有真空和大初始数据的黏性、可压缩、导热流体中，全局经典解的存在性与唯一性。
• 克服由温度方程和真空（密度为零）引起的强非线性和退化性。
• 将先前关于弱解或变分解的结果推广至具有完整正则性的经典解范畴。
• 为在真空和大初始数据条件下，解的长时间行为与正则性提供严格的理论框架。

提出的方法

• 利用能量法与Sobolev嵌入，推导速度与温度的$H^3$-估计。
• 通过高阶能量估计与分部积分法，建立密度与速度的$H^4$-正则性。
• 应用Gronwall不等式控制时间相关范数，确保一致有界性。
• 使用加权$L^2$-估计处理$ ho^{1/2}u_{tt}$、$ ho^{1/2} heta_t$与$ ho heta_{xt}$，以应对真空处的退化性。
• 通过正则化构造近似解，并在$ u o 0^+$时取极限，确保收敛至经典解。
• 借鉴先前工作[8]中的技术，控制能量估计中如$( ho u u_x)_x$与$ ho_{xxxx}u_{xxxxx}$等非线性项。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管存在强非线性和退化性，一维全纳维-斯托克斯方程在具有真空和大初始数据时，全局经典解是否可能存在？
• RQ2 在这些条件下，密度、速度与温度的正则性能达到何种程度？
• RQ3 当黏度与热导率依赖于密度与温度时，如何建立密度与速度的$H^4$-正则性？
• RQ4 在真空与大初始能量存在的情况下，能否控制高阶导数的增长？
• RQ5 在这些条件下，解是否能始终保持经典解（即空间与时间上$C^1$）并全局存在？

主要发现

• 本文在压力、黏度与热导率满足物理上合理的假设下，证明了一维全纳维-斯托克斯方程在具有大初始数据与真空时，全局经典解的存在性与唯一性。
• 在任意有限时间区间内，建立了密度与速度的$H^4$一致有界性，以及温度的$H^3$一致有界性。
• 解满足$\|\rho\|_{H^4} + \|u\|_{H^4} + \|\theta\|_{H^3} \leq c$，其中常数$c$与时间无关。
• 估计在正则化参数$\delta$下一致，允许取极限以获得原问题的经典解。
• 该方法避免了对初始数据大小的假设，与基于小扰动的先前结果形成鲜明对比。
• 本文识别出温度$H^4$-正则性的关键障碍，源于温度方程中的退化性与强非线性，导致无法实现更高阶正则性。