[论文解读] Global classical solution to 3D full compressible Navier-Stokes equations with vacuum at infinity

Huanyao Wen, Changjiang Zhu|arXiv (Cornell University)|Aug 6, 2012

Navier-Stokes equation solutions被引用 4

一句话总结

该论文在初始质量较小或粘性系数与热传导系数较大的条件下，证明了三维全压缩型纳维-斯托克斯方程在无穷远处具有真空时，全局经典解的存在性与唯一性。此外，论文进一步分析了长时间行为、衰减估计以及动量或能量守恒的条件，表明初始数据的更高正则性可导致经典解。

ABSTRACT

In this paper, we prove that there exists a unique global strong solution to the three-dimensional full compressible Navier-Stokes equations with vacuum at infinity, provided that the initial mass is small in some sense. The initial vacuum may also appear in a subset of $R^3$ besides at infinity, or can be of compact support. Our result shows that the initial mass can be large if the coefficients of viscosity and heat conduction are taken to be large, which implies that large viscosity and heat conduction mean large solution. Furthermore, large time behavior and decay estimates of the strong solution are considered, and some necessary conditions also are given for global strong solution with momentum or energy conservation. Finally, we show that the global strong solution can become classical if the initial data is more regular.

研究动机与目标

• 在初始质量较小的条件下，建立三维全压缩型纳维-斯托克斯方程全局强解存在的唯一性。
• 研究大粘性系数与热传导系数对允许初始质量大小以实现全局解的影响。
• 分析全局强解的长时间行为与衰减速率。
• 确定全局强解实现动量或能量守恒的必要条件。
• 证明初始数据正则性越高，全局强解即为经典解。

提出的方法

• 利用Sobolev空间中的能量估计与先验界控制解的增长与正则性。
• 应用延拓法，通过控制初始质量的充分小性，将局部解延拓为全局解。
• 通过加权能量估计，在无穷远处及R^3的紧子集上同时处理真空条件。
• 采用完整的压缩型纳维-斯托克斯系统，包含质量、动量与能量守恒方程。
• 利用时间加权能量不等式导出的衰减估计，分析长时间行为。
• 应用正则性提升技术，表明初始数据光滑性提高可导致经典解。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，三维全压缩型纳维-斯托克斯方程在无穷远处具有真空时存在全局强解？
• RQ2 大粘性系数与热传导系数如何影响全局解所容许的初始质量大小？
• RQ3 全局强解的衰减速率与长时间行为如何？
• RQ4 全局强解实现动量或能量守恒需满足哪些必要条件？
• RQ5 在初始数据何种正则性假设下，全局强解成为经典解？

主要发现

• 当初始质量充分小时，三维全压缩型纳维-斯托克斯方程存在唯一的全局强解。
• 大粘性系数与热传导系数允许较大的初始质量，同时仍能保证全局解的存在，表明大耗散性有助于支持大解。
• 全局强解表现出随时间的衰减估计，衰减速率取决于初始数据的正则性与能量界。
• 推导出全局强解中动量或能量守恒的必要条件，揭示守恒性与解的结构性质之间的联系。
• 若初始数据足够光滑，则全局强解成为经典解，表明解的光滑性随时间得到改善。