[论文解读] Global classical solutions, stability of constant equilibria, and spreading speeds in attraction-repulsion chemotaxis systems with logistic source on $\mathbb{R}^{N}$

Rachidi B. Salako, Wenxian Shen|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2016

Mathematical Biology Tumor Growth参考文献 39被引用 8

一句话总结

本文在 $\mathbb{R}^N$ 上建立了具有逻辑斯谛增长的抛物-椭-椭吸引-排斥趋化系统经典解的全局存在性与有界性，证明了常数平衡态 $\left(\frac{a}{b}, \frac{\mu_1}{\lambda_1}\frac{a}{b}, \frac{\mu_2}{\lambda_2}\frac{a}{b}\right)$ 的渐近稳定性，并推导出具有紧支集初值解的传播速度 $c^*_{-}$ 和 $c^*_{+}$，表明在传播前锋内部解收敛至平衡态，而在外部则衰减。

ABSTRACT

We consider the following chemotaxis systems $$\begin{cases}u_t=Δu-χ_1 abla(u abla v_1)+χ_2 abla(u abla v_2)+u(a-bu),\ \ x\in\mathbb R^N,t>0,\\0=(Δ-λ_1I)v_1+μ_1u,\ \ x\in\mathbb R^N,t>0,\\0=(Δ-λ_2I)v_2+μ_2u,\ \ ext{in}\ x\in\mathbb R^N,\ t>0,\\u(\cdot,0)=u_0,\ \ x\in\mathbb R^N,\end{cases}$$where $χ_i,\ λ_i,\ μ_i,\ i=1,2$ and $a,\ b$ are positive constant real numbers and $N$ is a positive integer. Under some conditions on the parameters, we prove the global existence and boundedness of classical solutions $(u(x,t;u_0),v_1(x,t;u_0),v_2(x,t;u_0))$ for nonnegative, bounded, and uniformly continuous initials $u_0(x)$. Next, we show that, for every strictly positive initial \,$u_0(x)$,$$\lim_{t o\infty}\left[\|u(\cdot,t;u_0)-\frac{a}{b}\|_{\infty}+\|λ_1v_1(\cdot,t;u_0)-\frac{a}{b}μ_1\|_{\infty}+\|λ_2v_2(\cdot,t;u_0)-\frac{a}{b}μ_2\|_{\infty} ight]=0.$$ Finally, we explore the spreading properties of the global solutions and prove that there are two positive numbers $0c^*_+(χ_1,μ_1,λ_1,χ_2,μ_2,λ_2)$. Furthermore we show that$$\lim_{(χ_1,χ_2) o(0,0)}c^*_-(χ_1,μ_1,λ_1,χ_2,μ_2,λ_2)=\lim_{(χ_1,χ_2) o(0,0)}c^*_+(χ_1,μ_1,λ_1,χ_2,μ_2,λ_2)=2\sqrt{a}.$$

研究动机与目标

• 在 $\mathbb{R}^N$ 上建立具有吸引、排斥及逻辑斯蒂增长的趋化系统经典解的全局存在性与有界性。
• 在适当的参数条件下，分析常数平衡态的渐近稳定性。
• 研究具有紧支集初值解的传播性质，特别是其长时间的时空行为。

提出的方法

• 通过构造来自常微分方程组的上下解，利用比较原理来控制解 $u(x,t)$ 的有界性。
• 采用上下解方法，控制 $u$、$v_1$ 与 $v_2$ 随时间的演化。
• 将 $v_1$ 与 $v_2$ 的椭圆方程视为 $u$ 的稳态格林函数表示，从而实现抛物-椭圆系统的解耦。
• 应用能量估计与最大值原理，推导出 $u$、$v_1$ 与 $v_2$ 在 $L^\infty$-范数下的统一有界性。
• 通过分析传播速度在 $\chi_1, \chi_2 \to 0$ 时的极限行为，将该模型与经典的Fisher-KPP方程联系起来。
• 基于上下解长时间极限的矛盾论证，证明解收敛至平衡态。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种参数条件下，$\mathbb{R}^N$ 上具有逻辑斯蒂源项的吸引-排斥趋化系统存在全局经典解且对所有时间保持有界？
• RQ2 在何种条件下，常数平衡态 $\left(\frac{a}{b}, \frac{\mu_1}{\lambda_1}\frac{a}{b}, \frac{\mu_2}{\lambda_2}\frac{a}{b}\right)$ 会吸引所有非负、一致连续的初值数据（在 $L^\infty$-范数意义下）？
• RQ3 对于具有紧支集初值的解，传播速度 $c^*_{-}$ 与 $c^*_{+}$ 是什么？它们如何与 $u$、$v_1$ 与 $v_2$ 的长时间空间分布相关？
• RQ4 当 $\chi_1, \chi_2 \to 0$ 时，传播速度的行为如何？这表明该系统与Fisher-KPP方程之间存在何种联系？
• RQ5 是否可通过与由上下解导出的常微分方程进行比较，来控制系统的动力学行为？

主要发现

• 在 $\chi_i$、$\mu_i$、$\lambda_i$、$a$、$b$ 与 $N$ 满足一定条件，且初值 $u_0$ 为非负、有界且一致连续时，对所有 $t > 0$，经典解存在且一致有界。
• 对于任意严格正的初值 $u_0$，常数平衡态 $\left(\frac{a}{b}, \frac{\mu_1}{\lambda_1}\frac{a}{b}, \frac{\mu_2}{\lambda_2}\frac{a}{b}\right)$ 在 $L^\infty$-范数下是渐近稳定的。
• 对于具有紧支集初值的解，在任意半径为 $ct$ 的球内，解以一致方式收敛至平衡态（当 $c < c^*_{-}$ 时）；在任意半径为 $ct$ 的球外，解衰减至零（当 $c > c^*_{+}$ 时）。
• 传播速度满足 $0 < c^*_{-} \leq c^*_{+}$，且当 $\chi_1, \chi_2 \to 0$ 时，两者均收敛至 $2\sqrt{a}$，恢复经典Fisher-KPP传播速度。
• 上下解在长时间极限下趋近于平衡态值 $\frac{a}{b}$，这意味着唯一可能的常数解为 $\frac{a}{b}$；若其非极限，则导致矛盾，从而证明收敛性。