[论文解读] Global controllability and stabilization for the nonlinear Schrödinger equation on some compact manifolds of dimension 3

Camille Laurent|ArXiv.org|Mar 10, 2009

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 1被引用 10

一句话总结

本文在几何控制与唯一延拓假设下，建立了紧致3维流形（如$\mathbb{T}^3$、$S^3$ 和 $S^2\times S^1$）上非聚焦非线性薛定谔方程的全局内部可控性与稳定化。通过Bourgain空间及两种不同方法——零点附近的稳定化结合局部可控性，以及沿轨迹的连续控制——证明了从任意$H^1$初态到任意$H^1$目标态的长时间精确可控性，且控制属于$L^\infty([0,T], H^1)$。

ABSTRACT

We prove global internal controllability in large time for the nonlinear Schrödinger equation on some compact manifolds of dimension 3. The result is proved under some geometrical assumptions : geometric control and unique continuation. We give some examples where they are fulfilled on $\Tot$, $S^3$ and $S^2 imes S^1$. We prove this by two different methods both inherently interesting. The first one combines stabilization and local controllability near 0. The second one uses successive controls near some trajectories. We also get a regularity result about the control if the data are assumed smoother. If the $H^1$ norm is bounded, it gives a local control in $H^1$ with a smallness assumption only in $L^2$. We use Bourgain spaces.

研究动机与目标

• 在如$\mathbb{T}^3$、$S^3$ 和 $S^2\times S^1$ 等紧致3维流形上，建立非聚焦非线性薛定谔方程的全局内部可控性。
• 解决三维非线性薛定谔方程在$H^1$中的一致适定性挑战，其中标准Strichartz估计在$s \leq 1$时失效。
• 证明带有阻尼项$-a(x)(1-\Delta)^{-1}a(x)\partial_t u$的NLS方程的稳定化，该阻尼项的控制支持于几何控制集上，导致$H^1$范数指数衰减。
• 证明控制可继承初态与目标态的正则性，实现仅需$L^2$范数小的$H^1$局部可控性。
• 验证几何控制与唯一延拓假设在特定流形$\mathbb{T}^3$、$S^3$ 与 $S^2\times S^1$ 上成立。

提出的方法

• 利用Bourgain空间$X^{s,b}$处理非线性薛定谔方程在$H^1$中的低正则性适定性与控制问题。
• 采用两种不同的控制策略：(1) 通过阻尼项$-a(x)(1-\Delta)^{-1}a(x)\partial_t u$实现稳定化，随后在零点附近实现局部可控性；(2) 沿轨迹实施连续控制以达到目标状态。
• 应用具有$L^\infty([-T,T], L^3)$型势函数的Carleman估计，以证明唯一延拓性质，这对可观测性与可控性至关重要。
• 利用几何控制条件与唯一延拓性推导线性化系统的可观测性估计，进而证明可控性。
• 构造一个$C^\infty(M)$光滑截断函数$a(x)$，其在控制集$\omega$上满足$\omega = \{x \in M : a(x) \neq 0\}$，确保控制的局部化。
• 通过$X^{s,b}$框架中的能量与色散估计，建立紧致性与正则性的传播，从而控制非线性项。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在如$\mathbb{T}^3$、$S^3$ 与 $S^2\times S^1$ 等紧致3维流形上，实现非聚焦非线性薛定谔方程的全局内部可控性？
• RQ2 在何种几何与分析条件下——特别是几何控制与唯一延拓——可证明$H^1$中的稳定化与可控性？
• RQ3 当初始态与目标态在$H^1$中有界时，即使仅假设$L^2$范数小，能否证明控制属于$L^\infty([0,T], H^1)$？
• RQ4 在$\mathbb{T}^3$、$S^3$ 与 $S^2\times S^1$ 上，几何控制与唯一延拓假设是否成立，且能否显式构造控制集？
• RQ5 控制策略能否通过零点附近的稳定化或沿轨迹的连续控制实现？各自的优点是什么？

主要发现

• 在几何控制与唯一延拓假设下，非聚焦非线性薛定谔方程在$\mathbb{T}^3$、$S^3$ 与 $S^2\times S^1$ 上实现了长时间的全局内部可控性。
• 对任意$R_0 > 0$，存在$T > 0$ 与 $C > 0$，使得对所有满足$\|u_0\|_{H^1}, \|u_1\|_{H^1} \leq R_0$ 的$u_0, u_1 \in H^1(M)$，存在控制$g \in C([0,T], H^1)$，满足$\|g\|_{L^\infty([0,T], H^1)} \leq C$，且控制支持于$[0,T] \times \overline{\omega}$，使得带控NLS解满足$u(T) = u_1$。
• 稳定化系统$i\partial_t u + \Delta u - a(x)(1-\Delta)^{-1}a(x)\partial_t u = (1+|u|^2)u$导致$H^1$范数指数衰减：$\|u(t)\|_{H^1} \leq C e^{-\gamma t} \|u_0\|_{H^1}$，其中$\gamma > 0$。
• 控制继承正则性：若初态与目标态属于$H^1$，则控制属于$L^\infty([0,T], H^1)$，仅需$L^2$范数小即可实现局部可控性。
• 在$\mathbb{T}^3$（面的邻域）、$S^3$（$x_4 = 0$处的赤道邻域）与$S^2\times S^1$（$S^2$中的赤道邻域与$S^1$中的区间）上，验证了几何控制与唯一延拓假设。
• 使用具有$L^\infty([-T,T], L^3)$型势函数的Carleman估计证明唯一延拓性，进而推出可观测性，从而实现可控性。