[论文解读] Global convergence of Newton's method for the regularized $p$-Stokes equations

Niko Schmidt|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2023

Iterative Methods for Nonlinear Equations被引用 6

一句话总结

本文提出了一种针对冰川学中正则化 p-Stokes 方程的全局 q-超线性收敛无穷维牛顿法，采用凸泛函实现精确与近似步长控制。该方法相比 Picard 迭代收敛更快，通过 Fréchet 可微性与正则化实现收敛性证明，并在 ISMIP-HOM B 实验中通过网格分辨率相关的精度实现数值验证。

ABSTRACT

The motion of glaciers can be simulated with the $p$-Stokes equations. Up to now, Newton's method to solve these equations has been analyzed in finite-dimensional settings only. We analyze the problem in infinite dimensions to gain a new viewpoint. We do that by proving global convergence of the infinite-dimensional Newton's method with Armijo step sizes to the solution of these equations. We only have to add an arbitrarily small diffusion term for this convergence result. We prove that the additional diffusion term only causes minor differences in the solution compared to the original $p$-Stokes equations under the assumption of some regularity. Finally, we test our algorithms on two experiments: A reformulation of the experiment ISMIP-HOM $B$ without sliding and a block with sliding. For the former, the approximation of exact step sizes for the Picard iteration and exact step sizes and Armijo step sizes for Newton's method are superior in the experiment compared to the Picard iteration. For the latter experiment, Newton's method with Armijo step sizes needs many iterations until it converges fast to the solution. Thus, Newton's method with approximately exact step sizes is better than Armijo step sizes in this experiment.

研究动机与目标

• 为加速求解 p-Stokes 方程，该方程用于模拟冰川流动，是冰盖模型中计算成本的主要来源。
• 在无穷维空间中建立正则化 p-Stokes 方程牛顿法的全局 q-超线性收敛性。
• 证明添加一个小的扩散项可确保 Fréchet 可微性，并在不显著改变物理解的前提下保证收敛性。
• 在数值实验中比较牛顿法（采用 Armijo 线搜索和近似精确步长）与 Picard 迭代的性能。
• 验证当正则化趋于零时，正则化解收敛于真实 p-Stokes 解。

提出的方法

• 将 p-Stokes 问题重新表述为最小化一个凸泛函，其原函数可用于精确计算步长。
• 引入一个微小且任意的扩散项，以确保在 1 < p < 2 条件下 p-Stokes 算子的 Fréchet 可微性。
• 采用凸泛函作为 merit 函数，结合 Armijo 线搜索，以保证全局收敛性。
• 利用凸泛函的方向导数近似精确步长，从而降低计算成本。
• 使用有限元方法对变分形式进行离散化，并通过 LU 分解求解得到的线性系统。
• 在 Lebesgue 空间中验证正则化解在正则化参数趋于零时收敛于原始 p-Stokes 解。

Figure 1. Considered domain in our experiment.

实验结果

研究问题

• RQ1 牛顿法是否能在无穷维函数空间中实现 p-Stokes 方程的全局 q-超线性收敛？
• RQ2 添加一个小的扩散项是否能在保持物理解不变的同时，确保可微性与收敛性？
• RQ3 牛顿法结合 Armijo 线搜索在收敛速度与精度方面相较于 Picard 迭代表现如何？
• RQ4 牛顿法结合 Armijo 线搜索的精度在多大程度上依赖于网格分辨率？
• RQ5 凸泛函是否能有效用于近似精确步长，且计算开销极小？

主要发现

• 采用 Armijo 线搜索的牛顿法可实现对正则化 p-Stokes 方程解的全局 q-超线性收敛。
• 添加小的扩散项可确保 Fréchet 可微性，并支持收敛性分析，对解的影响可忽略不计。
• 当正则化参数趋于零时，正则化解在 Lebesgue 空间中收敛于原始 p-Stokes 方程的解。
• ISMIP-HOM B 实验的数值结果表明，采用 Armijo 线搜索的牛顿法收敛速度显著快于 Picard 迭代，残差误差降低超过 1000 倍。
• 牛顿法结合 Armijo 线搜索的精度对网格分辨率更敏感，而非精确步长近似方式。
• 基于凸泛函的步长控制在早期迭代中有效，但随着泛函值趋于平稳，其在残差降低方面的效果减弱，表明存在残差减少的极限。

Figure 2. The velocity norms at the surface are shown in the left figure. The velocity field is shown in the right figure.