[论文解读] Global cracking elements: a novel tool for Galerkin-based approaches simulating quasi-brittle fracture

Yiming Zhang, Herbert A. Mang|arXiv (Cornell University)|Aug 17, 2019

Numerical methods in engineering参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文提出全局裂纹单元法（GCEM），一种基于伽辽金法的新型有限元方法，用于在无需重划分网格、增强或裂纹追踪的情况下模拟准脆性断裂。通过将标准9节点四边形单元中心节点的自由度重新用于表示裂纹张开，GCEM实现了高度稳定、鲁棒且与网格无关的结果，成功捕捉了裂纹起裂、扩展及混合模式张开，且对离散化依赖性极低。

ABSTRACT

Following the so-called Cracking Elements Method (CEM), recently presented in \cite{Yiming:14,Yiming:16}, we propose a novel Galerkin-based numerical approach for simulating quasi-brittle fracture, named Global Cracking Elements Method (GCEM). For this purpose the formulation of the original CEM is reorganized. The new approach is embedded in the standard framework of the Galerkin-based Finite Element Method (FEM), which uses disconnected element-wise crack openings for capturing crack initiation and propagation. The similarity between the proposed Global Cracking Elements (GCE) and the standard 9-node quadrilateral element (Q9) suggests a special procedure: the degrees of freedom of the center node of the Q9, originally defining the displacements, are "borrowed" to describe the crack openings of the GCE. The proposed approach does not need remeshing, enrichment, or a crack-tracking strategy, and it avoids a precise description of the crack tip. Several benchmark tests provide evidence that the new approach inherits from the CEM most of the advantages. The numerical stability and robustness of the GCEM are better than the ones of the CEM. However, presently only quadrilateral elements with nonlinear interpolations of the displacement field can be used.

研究动机与目标

• 开发一种基于伽辽金法的数值方法，用于模拟准脆性断裂，避免使用重划分网格、增强或裂纹追踪策略。
• 在保持精度和稳定性的同时，降低裂纹模拟中的网格依赖性。
• 通过改进的单元公式，将裂纹表示嵌入标准FEM框架中。
• 实现对裂纹起裂与扩展的可靠模拟，采用分离的、单元级的裂纹张开形式。
• 在保持与传统FEM相当的高计算效率和鲁棒性的同时，准确模拟混合模式断裂行为。

提出的方法

• 该方法将标准9节点四边形单元（Q9）中心节点的位移自由度重新用于表示局部裂纹张开，形成全局裂纹单元（GCE）。
• GCE公式被嵌入标准伽辽金FEM框架中，保持了全局刚度矩阵的对称性与稀疏性。
• 采用混合模式的牵引-分离准则来定义裂纹张开与牵引之间的关系，等效裂纹张开定义为法向与切向分量的欧几里得范数。
• 裂纹扩展通过自传播的、分离的裂纹段实现，这些裂纹段穿过单元，局部裂纹方向在单元层面确定。
• 该方法避免了对裂纹尖端的显式描述，且除标准位移和裂纹张开外，无需额外自由度。
• 该方法使用非线性形函数实现，因此目前仅适用于具有此类插值的四边形单元。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于伽辽金法的FEM方法是否能够在不使用重划分网格、增强或裂纹追踪策略的情况下模拟准脆性断裂？
• RQ2 与CEM、XFEM或相场模型等现有方法相比，所提出方法在网格依赖性和数值鲁棒性方面表现如何？
• RQ3 GCEM在多模式加载场景下，对裂纹起裂与扩展的捕捉精度能达到何种程度？
• RQ4 该方法是否能在粗网格和非结构化网格下保持高计算效率并获得可靠结果？
• RQ5 GCEM在处理复杂裂纹模式（如notched试样中的多裂纹或分叉裂纹）方面表现如何？

主要发现

• GCEM表现出可忽略的网格依赖性，在巴西圆盘试验中，粗网格与细网格的非结构化网格下，力-位移曲线与归一化峰值载荷保持一致。
• 单槽圆盘试验中的归一化峰值载荷与相场法和微平面动力学方法的 published 结果一致，证实了GCEM的可靠性。
• 该方法成功捕捉了主裂纹与次裂纹，包括在双notched圆盘中α = 60°时的分叉行为，如变形与裂纹张开图所示。
• GCEM在数值稳定性方面优于原始裂纹单元法（CEM），且所需迭代次数更少，表明其鲁棒性得到提升。
• 单元级分离的裂纹张开被准确捕捉，无需追踪实际裂纹尖端，也无需使用如键合或格点等额外假设。
• 该方法保持了标准FEM的对称与稀疏刚度矩阵，尽管使用了非线性形函数，但计算效率仍合理。