[论文解读] Global dynamics and spatio-temporal patterns of predator-prey systems with density-dependent motion

Hai‐Yang Jin, Zhi‐An Wang|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2019

Mathematical Biology Tumor Growth参考文献 42被引用 4

一句话总结

本文研究了在二维有界区域中具有密度依赖性捕食者运动性与猎物趋化性的捕食者-猎物系统，通过李雅普诺夫泛函方法建立了经典解的全局有界性与稳态的全局渐近稳定性。研究发现，猎物密度依赖的运动性函数可引发复杂时空模式（从周期性到混沌），这些模式超越了线性稳定性理论的预测范围，揭示了生态系统中模式形成的关键机制。

ABSTRACT

In this paper, we investigate the global boundedness, asymptotic stability and pattern formation of predator-prey systems with density-dependent preytaxis in a two-dimensional bounded domain with Neumann boundary conditions, where the coefficients of motility (diffusion) and mobility (preytaxis) of the predator are correlated through a prey density dependent motility function. We establish the existence of classical solutions with uniform-in time bound and the global stability of the spatially homogeneous prey-only steady states and coexistence steady states under certain conditions on parameters by constructing Lyapunov functionals. With numerical simulations, we further demonstrate that spatially homogeneous time-periodic patterns, stationary spatially inhomogeneous patterns and chaotic spatio-temporal patterns are all possible for the parameters outside the stability regime. We also find from numerical simulations that the temporal dynamics between linearized system and nonlinear systems are quite different, and the prey density-dependent motility function can trigger the pattern formation.

研究动机与目标

• 分析具有密度依赖性捕食者运动性与猎物趋化性的二维捕食者-猎物系统中经典解的全局有界性与渐近稳定性。
• 探究猎物密度依赖的运动性函数在超越线性稳定性预测范围时，如何触发空间模式形成。
• 比较线性化系统与非线性系统的时序动力学，突出模式出现的差异。
• 探讨不同运动性函数（常数与非恒定）如何影响空间非均匀、周期性或混沌时空模式的出现。
• 通过构造李雅普诺夫泛函，建立空间均匀与共存稳态全局稳定的条件。

提出的方法

• 构建一个带有捕食者运动性 $ d(v) $ 与猎物趋化性 $ \nabla \to (u\chi(v)\nabla v) $ 的反应-扩散-对流系统，其中两个系数均依赖于猎物密度 $ v $。
• 应用李雅普诺夫泛函技术，证明经典解在时间上的一致有界性，以及空间均匀的仅猎物稳态与共存稳态的全局渐近稳定性。
• 围绕稳态进行线性稳定性分析，通过雅可比矩阵的特征值分析识别霍普夫与稳态分岔的条件。
• 利用有限差分格式的数值模拟探索非线性动力学，包括周期性、空间非均匀静止态及混沌时空模式。
• 通过改变运动性函数 $ d(v) $（特别是 $ d_1(v), d_2(v), d_3(v) $）来测试其对模式形成与分岔行为的影响。
• 将线性化动力学与完整非线性模拟进行比较，发现非线性在大振幅区域占主导地位，导致线性预测失效。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种运动性函数 $ d(v) $ 与参数条件下，经典解是全局有界的，且空间均匀的仅猎物稳态或共存稳态是全局渐近稳定的？
• RQ2 猎物密度依赖的运动性 $ d(v) $ 如何影响空间模式的出现，如空间非均匀的静止态或混沌时空动力学？
• RQ3 当线性化分析预测系统稳定，但完整非线性系统表现出如周期性或混沌模式等复杂动力学时，系统非线性的作用是什么？
• RQ4 不同形式的 $ d(v) $（如常数、二次函数或有理函数）如何影响捕食者-猎物系统中模式类型（如周期性到混沌）之间的转变？
• RQ5 在具有密度依赖性运动的情况下，非线性系统的数值模拟在多大程度上偏离线性稳定性分析的预测，特别是对于大振幅行为？

主要发现

• 具有密度依赖性运动性与猎物趋化性的捕食者-猎物系统的经典解在时间上一致有界，确保不会发生有限时间爆破。
• 在特定参数条件下，空间均匀的仅猎物稳态与共存稳态可通过构造的李雅普诺夫泛函证明其全局渐近稳定性。
• 数值模拟表明，当参数超出线性稳定性区域时，系统表现出空间均匀的周期性模式、空间非均匀的静止模式以及混沌时空模式。
• 当 $ d(v) = d_2(v) $ 时，在 $ D < 49/19200 $ 条件下发生稳态分岔，导致空间非均匀静止模式的出现，表明非恒定 $ d(v) $ 可触发模式形成。
• 当 $ d(v) = d_3(v) $ 且 $ D = 1/10 $ 时，即使线性分析预测霍普夫分岔，仍出现混沌时空模式，凸显非线性效应的主导作用。
• 非线性系统的时序动力学与线性化预测存在显著差异，尤其在振幅增长与模式演化方面，表明仅依赖线性稳定性分析无法完整捕捉系统行为。