[论文解读] Global dynamics below the ground state for the quadratic Schödinger system in 5d

Masaru Hamano|arXiv (Cornell University)|May 30, 2018

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 12被引用 17

一句话总结

本文在低于基态能量的条件下，建立了5D二次非线性薛定谔系统的全局动力学。采用Kenig-Merle的集中紧致性方法，证明了初始数据作用低于基态时的散射性，同时在存在正能量的情况下，也确立了具有负能量或有限方差的解的爆破或增长行为。

ABSTRACT

In this paper we consider the nonlinear Schrödinger system (NLS) with quadratic interaction in five dimensions. We determine the global behavior of the solutions to the system with data below the ground state. Our proof of the scattering result is based on an argument by Kenig Merle [16]. In particular, the new part of this paper is to deal with asymmetric interaction. A blowing up or growing up result is proved by combining the argument by Du Wu Zhang in [6] and a variational characterization of minimizers. Moreover, we show a blowing-up result if the data has finite variance or is radial.

研究动机与目标

• 确定5D二次非线性薛定谔系统在初始数据低于基态能量时的长时间行为。
• 将先前的爆破结果扩展至包含有限方差或径向对称性的正能量初始数据。
• 在非对称相互作用系统中，于基态以下建立散射二分法。
• 证明临界解的存在性，并展示其紧致性与刚性，从而导出散射或爆破。
• 通过变分方法与作用泛函 Iω 对临界行为进行表征。

提出的方法

• 将Kenig-Merle集中紧致性方法适配至具有非对称相互作用的5D二次NLS系统。
• 采用线性谱分解与长时间扰动理论，处理小数据与渐近行为。
• 利用局域化virial恒等式与极小化子的变分表征，分析爆破或增长行为。
• 应用泛函 Iω = ω/2 M(u,v) + 1/2 E(u,v) 定义作用量，并与基态值进行比较。
• 结合Du-Wu-Zhang的爆破论证与基态的变分表征，证明在有限方差或径向条件下发生爆破。
• 利用泛函 Kω20,8(u,v) = 8K(u,v) - 20P(u,v) 定义关键不等式，用于二分法分析。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于初始数据低于基态能量的5D二次NLS系统，解的全局行为（散射或爆破）是什么？
• RQ2 能否将有限方差数据的爆破结果扩展至超出负能量情况的正能量初始数据？
• RQ3 对于不发生散射但全局存在的时间解，系统是否表现出增长行为？
• RQ4 径向对称性与有限方差在正能量解中触发爆破的作用是什么？
• RQ5 非对称相互作用结构相较于对称系统，如何影响散射与爆破的二分法？

主要发现

• 满足 Iω(u0,v0) < Iω(φω,ψω) 的5D二次NLS系统解在两个时间方向上均发生散射。
• 若初始数据具有有限方差且能量为负，则解在有限时间内爆破，将Hayashi-Ozawa-Tanaka的结果扩展至正能量情形。
• 对于具有有限方差的径向初始数据，即使能量为正，解也在有限时间内爆破。
• 满足 Iω(u0,v0) < Iω(φω,ψω) 且 M(u0,v0)K(u0,v0) < M(φ1,ψ1)K(φ1,ψ1) 的解，其 M(u,v)K(u,v) 在所有时间均满足 M(u,v)K(u,v) < M(φ1,ψ1)K(φ1,ψ1)。
• 若 E(u0,v0) ≤ 0，则 Kω20,8(u0,v0) < 0 且 Iω(u0,v0) < Iω(φω,ψω)，在有限方差或径向对称条件下蕴含爆破。