[论文解读] Global Dynamics for Newton and Planck

Alexander Vikman|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2021

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 23被引用 4

一句话总结

本文提出一个框架，其中牛顿常数和约化普朗克常数作为全局动力自由度，从丢失迹信息的无量纲爱因斯坦方程中涌现。通过扩展亨诺克斯-泰特尔博伊姆的无度规引力协变作用量，作者推导出这些常数的海森堡不确定性关系，并表明 $G_N$ 和 $ \hbar $ 的量子涨落受到限制，对量子引力和宇宙学常数问题具有重要意义。

ABSTRACT

We discuss recently introduced scale-free Einstein equations, where the information from their trace part is lost. These equations are classically equivalent to General Relativity, yet the Newton constant becomes a constant of integration or a global dynamical degree of freedom. Thus, from the point of view of standard quantization, this effective Newton constant is susceptible to quantum fluctuations. This is similar to what happens to the cosmological constant in the unimodular gravity where the trace part of the Einstein equations is lost in a different way. Using analogy with the Henneaux-Teitelboim covariant action for the unimodular gravity, we consider different general-covariant actions resulting in these dynamics. This setup allows one to formulate the Heisenberg uncertainty relations for the Newton constant and canonically conjugated quantities. Unexpectedly, one of such theories also promotes the Planck's quantum constant to a global degree of freedom, which is subject to quantum fluctuations. Following analogy with the unimodular gravity, we discuss non-covariant "unimatter" and "unicurvature" gravities describing the scale-free Einstein equations. Finally, we show that in some limit of the Yang-Mills gauge theory a "frozen" axion-like field can emulate the gravitational Newton constant or even of the quantum Planck constant.

研究动机与目标

• 将引力重新表述为牛顿常数 $G_N$ 成为全局动力自由度而非固定参数。
• 将此框架扩展至将约化普朗克常数 $\hbar$ 视为受量子涨落影响的全局动力变量。
• 通过全局自由度的正则量子化，推导 $G_N$ 和 $\hbar$ 的量子不确定性关系。
• 将这些动力学嵌入杨-米尔斯理论中的轴子样场，为动力常数提供场论实现。
• 通过非协变的“无物质”和“无曲率”引力模型，探讨其对量子宇宙学、奇点及宇宙学常数问题的影响。

提出的方法

• 制定无量纲爱因斯坦方程（例如，$G_{\mu\nu}/G = T_{\mu\nu}/T$），其在经典上等价于广义相对论，但丢失迹信息，使 $G_N$ 成为积分常数。
• 采用亨诺克斯-泰特尔博伊姆的无度规引力协变作用量作为模板，构建使 $\Lambda$ 或 $G_N$ 成为全局自由度的作用量。
• 引入冻结的轴子样场 $\nu$ 和 $\eta$，其非最小耦合至引力和物质，其中 $\nu^2$ 决定有效牛顿常数 $G_N = 1/(8\pi\nu^2)$。
• 构建具有束缚规范场和冻结轴子 $\alpha$ 的杨-米尔斯型作用量，其中耦合 $\alpha/f_\alpha$ 产生宇宙学常数，且 $\alpha$ 充当动力 $G_N$。
• 推导 $\varepsilon_\Lambda$ 与宇宙时间 $\tau$ 的共轭对，得出不确定性关系 $\delta\varepsilon_\Lambda \cdot \delta\tau \geq \hbar/2$，并推广为 $\delta\Lambda \cdot \delta\Omega \geq 4\pi \ell_{Pl}^2$。
• 将形式拓展至同时包含 $G_N$ 和 $\hbar$ 作为动力自由度，其中 $\bar{\hbar} = \hbar M_m^2 / \eta^2$，并通过不确定性关系推导 $\bar{\hbar}$ 量子涨落的界限。

实验结果

研究问题

• RQ1 牛顿常数 $G_N$ 能否在广义协变理论中被提升为全局动力自由度？
• RQ2 当 $G_N$ 作为全局动力变量时，其有效牛顿常数的量子不确定性界限为何？
• RQ3 约化普朗克常数 $\hbar$ 是否也可在一致的量子引力框架中被视为全局动力自由度？
• RQ4 此类动力常数如何从基本场论构造中涌现，例如具有轴子样场的杨-米尔斯理论？
• RQ5 这些全局自由度对量子宇宙学和广义相对论中奇点有何影响？

主要发现

• 当爱因斯坦方程的迹被舍弃时，有效牛顿常数 $G_N = 1/(8\pi\nu^2)$ 成为全局动力自由度，导致无量纲动力学。
• 推导出 $G_N$ 量子涨落的下限为 $\delta G_N \gtrsim \frac{1}{8\pi} \frac{\hbar}{\nu^2 \delta \Omega}$，其中 $\delta \Omega$ 为时空体积的不确定性。
• 通过第二个轴子场 $\eta$，约化普朗克常数 $\hbar$ 也可实现为动力量，其中 $\bar{\hbar} = \hbar M_m^2 / \eta^2$，并导出新的不确定性关系 $\delta \bar{\hbar} \cdot \delta \eta \gtrsim \frac{\hbar M_m^2}{2\eta^2}$。
• 推导出不确定性关系 $\delta \Lambda \cdot \delta \int d^4x \sqrt{-g} \geq 4\pi \ell_{Pl}^2$，表明在此框架中宇宙学常数的量子涨落不可避免。
• 具有冻结轴子 $\alpha$ 的杨-米尔斯理论可通过 $G_N \propto \alpha^{-1}$ 模拟牛顿常数，甚至在强耦合极限下通过 $\bar{\hbar} \propto \alpha^{-1}$ 模拟约化普朗克常数。
• 该构造自然涌现出宇宙学常数及与引力的非最小耦合，破缺平移对称性并稳定真空能量。