[论文解读] Global Equilibria of Multi-leader Multi-follower Games

Ankur A. Kulkarni, Uday V. Shanbhag|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2012

Economic theories and models参考文献 32被引用 4

一句话总结

本文提出了一种带有共享约束的改进型多领导者多追随者博弈公式，证明了在这些约束下潜在函数的全局极小点即为改进博弈的均衡点。通过不动点理论证明了均衡的存在性，并将局部最优性与纳什均衡联系起来，从而可通过乘子集恢复原始博弈的均衡点。

ABSTRACT

Multi-leader multi-follower games are a class of hierarchical games in which a collection of leaders compete in a Nash game constrained by the equilibrium conditions of another Nash game amongst the followers. The resulting equilibrium problem with equilibrium constraints is complicated by nonconvex agent problems and therefore providing tractable conditions for existence of global or even local equilibria for it has proved challenging. Consequently, much of the extant research on this topic is either model specific or relies on weaker notions of equilibria. We consider a modified formulation in which every leader is cognizant of the equilibrium constraints of all leaders. Equilibria of this modified game contain the equilibria, if any, of the original game. The new formulation has a constraint structure called shared constraints, and our main result shows that if the leader objectives admit a potential function, the global minimizers of the potential function over the shared constraint are equilibria of the modified formulation. We provide another existence result using fixed point theory that does not require potentiality. Additionally, local minima, B-stationary, and strong-stationary points of this minimization are shown to be local Nash equilibria, Nash B-stationary, and Nash strong-stationary points of the corresponding multi-leader multi-follower game. We demonstrate the relationship between variational equilibria associated with this modified shared-constraint game and equilibria of the original game from the standpoint of the multiplier sets and show how equilibria of the original formulation may be recovered. We note through several examples that such potential multi-leader multi-follower games capture a breadth of application problems of interest and demonstrate our findings on a multi-leader multi-follower Cournot game.

研究动机与目标

• 解决具有非凸代理问题且缺乏可处理存在性条件的多领导者多追随者博弈中的非凸性与存在性条件不足问题。
• 提出一种改进的博弈公式，使领导者能够意识到所有其他领导者共享的均衡约束，从而确保原始博弈的均衡包含在新的解集中。
• 通过潜在函数和不动点理论，建立全局均衡存在的充分条件。
• 将重构问题中的局部最优性与原始博弈中的局部纳什均衡、B-稳定性和强稳定性联系起来。
• 展示如何通过乘子集分析从改进的共享约束公式中恢复原始博弈的均衡点。

提出的方法

• 引入一种改进的多领导者多追随者博弈，其中所有领导者均知晓其他所有领导者共享的均衡约束，从而形成共享约束结构。
• 证明若领导者的目标函数具有潜在函数，则该潜在函数在共享约束下的全局极小点即为改进博弈的均衡点。
• 在不依赖潜在函数条件的前提下，通过不动点理论证明均衡的存在性。
• 证明潜在函数最小化问题的局部极小点、B-稳定点和强稳定点分别对应于原始博弈中的局部纳什均衡、纳什B-稳定点和纳什强稳定点。
• 通过乘子集的视角，分析共享约束博弈的变分均衡与原始博弈均衡之间的关系。
• 通过分析与共享约束相关的乘子集结构，演示如何从改进公式中恢复原始博弈的均衡点。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非凸代理问题的多领导者多追随者博弈中，何种条件下可保证全局均衡的存在？
• RQ2 共享约束公式如何提升具有均衡约束的层次博弈的可处理性与解结构？
• RQ3 改进的共享约束博弈的变分均衡与原始多领导者多追随者博弈的均衡之间存在何种关系？
• RQ4 重构问题中的局部最优性条件在何种意义上对应于原始博弈中有意义的均衡概念？
• RQ5 能否通过乘子集分析，从改进公式中恢复原始博弈的均衡点？

主要发现

• 在共享约束下，潜在函数的全局极小点即为改进的多领导者多追随者博弈的均衡点。
• 通过不动点理论证明了均衡的存在性，且无需依赖潜在函数条件。
• 潜在函数最小化问题的局部极小点即为原始博弈的局部纳什均衡点。
• 潜在函数最小化问题的B-稳定点与强稳定点分别对应于原始博弈中的纳什B-稳定点与强稳定点。
• 共享约束博弈的变分均衡通过乘子集的结构与原始博弈的均衡相联系。
• 通过分析与共享约束相关的乘子集结构，可从改进公式中恢复原始博弈的均衡点。