[论文解读] Global exact controllability in infinite time of Schrödinger equation: multidimensional case

Vahagn Nersesyan, Hayk Nersisyan|arXiv (Cornell University)|Jan 17, 2012

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 13被引用 9

一句话总结

该论文在无限时间内建立了近任意有限特征函数线性组合处多维薛定谔方程的全局精确可控性。通过构建一个合适的函数空间 ${\cal H}$，该空间同时满足非线性系统的适定性与线性化系统的可控性，作者应用反函数定理在 $H^{3d}$ 空间中证明了精确可控性，表明由于谱退化，在高维情况下通常不可能实现有限时间可控性。

ABSTRACT

We prove that the multidimensional Schrödinger equation is exactly controllable in infinite time near any point which is a finite linear combination of eigenfunctions of the Schrödinger operator. We prove that, generically with respect to the potential, the linearized system is controllable in infinite time. Applying the inverse mapping theorem, we prove the controllability of the nonlinear system.

研究动机与目标

• 在有限特征函数线性组合附近，建立多维薛定谔方程在无限时间内的精确可控性。
• 解决多维情况下因谱退化导致有限时间可控性失效而引起的正则性损失问题。
• 构建一个函数空间 ${\cal H}$，使得非线性薛定谔方程在该空间中适定，且其线性化系统可控。
• 通过无限时间控制，将 Beauchard 和 Coron 在一维情况下的可控性结果推广至多维情形。

提出的方法

• 定义一个包含 $H^{3d}$ 的巴拿赫空间 ${\cal H}$，以确保非线性薛定谔方程的适定性。
• 利用矩问题与谱分析，在无限时间内证明在特征函数轨迹附近的线性化系统可控性。
• 利用反函数定理在空间 ${\cal H}$ 中建立控制到状态映射的可微性与可逆性。
• 使用解析算子 $R_t$ 及其极限 $R_\infty$ 分析 $t \to \infty$ 时系统的演化行为，确保在 ${\cal H}$ 中收敛。
• 通过确保线性化逆算子在 ${\cal H}$ 中满足必要估计，间接应用 Nash-Moser 型论证。
• 利用指数函数 $e^{i\omega_{mk}s}$ 在 $[0, \infty)$ 上的线性无关性，即使在有限时间受阻，仍可在无限时间内实现可控性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在有限特征函数线性组合附近，多维薛定谔方程是否能在有限时间内实现精确可控性？
• RQ2 为何标准的有限时间可控性方法在维度 $d \geq 3$ 时因谱性质而失效？
• RQ3 是否存在一个函数空间，使得非线性薛定谔方程适定且其线性化系统可控？
• RQ4 反函数定理是否可用于证明非线性系统在无限时间内的全局精确可控性？
• RQ5 无限时间框架如何克服导致高维有限时间可控性受阻的正则性损失问题？

主要发现

• 多维薛定谔方程在任意有限特征函数线性组合附近，于无限时间内具有全局精确可控性。
• 可控性在 $H^{3d}$ 空间中实现，该空间为足够光滑的空间，确保非线性系统的适定性。
• 对于典型势能 $V$，线性化系统在无限时间内可控，这是由于 $e^{i\omega_{mk}s}$ 在 $[0, \infty)$ 上的线性无关性。
• 反函数定理在空间 ${\cal H}$ 中适用，该空间被构造为在正则性与可控性之间取得平衡，从而实现非线性可控性的证明。
• 由于缺乏谱间隙以及指数函数的线性相关性，维度 $d \geq 3$ 时通常不可能实现有限时间可控性。
• 该结果在最优意义下成立，即在相同条件下，多维薛定谔方程无法实现有限时间精确可控性。