[论文解读] Global Existence and Large Time Asymptotic Behavior of Strong Solutions to the Cauchy Problem of 2D Density-Dependent Navier-Stokes Equations with Vacuum

Boqiang Lv, Xiaoding Shi+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2015

Navier-Stokes equation solutions参考文献 14被引用 11

一句话总结

本文在全空间 ℝ² 上建立了带真空的二维密度依赖型 Navier-Stokes 方程强解的全局存在性及其大时间渐近行为。在初始密度具有温和衰减条件的前提下，证明了对任意大初始数据，即使初始密度包含真空或具有紧支集，也存在唯一的全局强解，并推导出速度与压力梯度的衰减速率，与齐次情形一致。

ABSTRACT

We are concerned with the Cauchy problem of the two-dimensional (2D) nonhomogeneous incompressible Navier-Stokes equations with vacuum as far-field density. It is proved that if the initial density decays not too slow at infinity, the 2D Cauchy problem of the density-dependent Navier-Stokes equations on the whole space $\mathbb{R}^2$ admits a unique global strong solution. Note that the initial data can be arbitrarily large and the initial density can contain vacuum states and even have compact support. Furthermore, we also obtain the large time decay rates of the spatial gradients of the velocity and the pressure which are the same as those of the homogeneous case.

研究动机与目标

• 解决二维非齐次不可压缩 Navier-Stokes 方程在远场密度为真空时强解全局存在的开放问题。
• 将存在性理论从局部解扩展至一般初始数据（包括大初始数据和真空态）下的全局存在性。
• 在初始密度衰减假设最小化的前提下，推导出速度与压力空间梯度的精确大时间衰减速率。
• 在真空存在和无界空间区域条件下，建立强解理论的有效性，推广此前在有界区域中的结果。

提出的方法

• 利用加权 Sobolev 空间中的先验能量估计，其中权函数为 $\bar{x} = (e + |x|^2)^{1/2} \log^2(e + |x|^2)$，以控制无穷远处的衰减。
• 通过证明 $\|\sqrt{\rho}u_t\|_{L^2}$、$\|\nabla u_t\|_{L^2}$ 和 $\|\nabla^2 u\|_{L^2}$ 的一致有界性，应用局部解的延拓方法。
• 在时间加权能量估计上应用 Gronwall 不等式，以将局部解延拓至全局时间。
• 利用 Garliardo-Nirenberg 不等式与 Hölder 不等式，控制涉及 $\sqrt{\rho}u$、$\nabla u$ 及其时间导数的非线性项。
• 建立 $\rho$ 与 $u$ 在 $C([0,T]; L^1 \cap H^1 \cap W^{1,q})$ 与 $C([\tau,T]; L^2 \cap L^q)$ 中的连续性，以确保解可被延拓至任意有限时间之后。
• 依赖于相容性条件 $\text{div}\, u_0 = 0$、$\sqrt{\rho_0}u_0 \in L^2$ 与 $\nabla u_0 \in L^2$，以保证强解的结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 ℝ² 上，对于带真空和任意初始数据的二维密度依赖型 Navier-Stokes 方程，全局强解是否可能存在？
• RQ2 在一般初始条件下，当 $t \to \infty$ 时，速度与压力的空间梯度表现出怎样的衰减速率？
• RQ3 真空的存在或初始密度具有紧支集是否会影响强解的全局存在性？
• RQ4 在非齐次条件下，速度与压力梯度的衰减速率是否可与齐次情形保持一致？
• RQ5 当初始数据较大且密度在无穷远处衰减缓慢时，局部强解理论是否可延拓至全局存在？

主要发现

• 在初始密度在无穷远处衰减不过慢的假设下，二维非齐次不可压缩 Navier-Stokes 方程的 Cauchy 问题在 $\mathbb{R}^2$ 上存在唯一的全局强解。
• 初始数据可为任意大，且初始密度可包含真空或具有紧支集，此结果推广了此前仅限于正初始密度的研究。
• 证明了 $\nabla u$ 与 $\nabla P$ 的大时间衰减速率与齐次情形完全相同，具体表现为 $\|\nabla u(t)\|_{L^2} \to 0$ 与 $\|\nabla P(t)\|_{L^2} \to 0$，且衰减速率与常密度情形一致。
• 建立了关键的时间加权能量估计 $\sup_{t \in [0,T]} t \|\sqrt{\rho}u_t\|_{L^2}^2 + \int_0^T t \|\nabla u_t\|_{L^2}^2 dt \leq C(T)$，这对于解的全局延拓至关重要。
• 解满足 $\inf_{0 \leq t \leq T} \int_{B_{N_1}} \rho(x,t) dx \geq \frac{1}{4}$，其中 $N_1 > 0$，确保密度在固定球 $B_{N_1}$ 上关于时间一致远离零。
• $\rho$ 与 $u$ 在适当函数空间中的连续性使得可应用延拓方法，将局部解延拓至所有时间 $T > 0$，从而证明了全局存在性。