[论文解读] Global existence and non-existence of stochastic parabolic equations

Guangying Lv, Jinlong Wei|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2019

Advanced Mathematical Modeling in Engineering被引用 4

一句话总结

该论文通过一种新颖的随机拟凸性方法，建立了有界区域和整个空间上随机抛物方程的全局存在性与有限时间爆破结果，该方法消除了对解非负性的假设。研究证明，当 $1 < p \leq 1 + \frac{2}{d}$ 时，即使在随机噪声作用下，非平凡初值仍会导致解的期望和二阶矩在有限时间内爆破，将确定性Fujita型现象推广至随机情形，并揭示了新的噪声诱导爆破效应。

ABSTRACT

This paper is concerned with the blowup phenomenon of stochastic parabolic equations both on bounded domain and in the whole space. We introduce a new method to study the blowup phenomenon on bounded domain. Comparing with the existing results, we delete the assumption that the solutions to stochastic heat equations are non-negative. Then the blowup phenomenon in the whole space is obtained by using the properties of heat kernel. We obtain that the solutions will blow up in finite time for nontrivial initial data.

研究动机与目标

• 研究有界区域和整个空间上随机抛物方程的有限时间爆破现象。
• 消除先前随机爆破分析中常见的解必须非负的限制性假设。
• 发展一种新的随机拟凸性方法，以避免在证明爆破时对解的正性要求。
• 将确定性Fujita现象推广至具有广义噪声结构的随机抛物方程。
• 建立解在有限时间内爆破或全局存在的条件，取决于非线性度、初值以及噪声的影响。

提出的方法

• 引入随机拟凸性方法，以在不依赖解正性的情况下证明爆破，替代传统的随机Kaplan方法。
• 对解的负部的 $L^1$-范数应用Itô公式，证明其几乎必然消失，从而表明无需假设解的非负性。
• 利用比较原理与热核估计分析整个空间中的爆破行为，将随机解与确定性对应解进行比较。
• 通过热核与随机卷积表示弱解，以分析解的矩。
• 通过积分不等式与确定性方程的比较，分析解的期望与二阶矩。
• 利用热核性质与随机积分的有界性，证明在适当初值与非线性度下，$\mathbb{E}[u(x,t)]$ 与 $\mathbb{E}[|u(x,t)|^2]$ 的爆破。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不假设解非负的前提下，证明随机抛物方程的有限时间爆破？
• RQ2 乘性噪声的存在如何影响整个空间中解的爆破时间与存在性？
• RQ3 在爆破条件方面，随机Fujita型现象与确定性情形相比有多大差异？
• RQ4 该随机拟凸性方法能否推广至具有非Lipschitz噪声系数的SPDEs？
• RQ5 初值大小与空间衰减在随机扰动下对全局存在性与有限时间爆破的决定作用如何？

主要发现

• 提出了一种新的随机拟凸性方法，可在不假设解非负的前提下证明有限时间爆破，消除了先前研究中的关键假设。
• 当 $1 < p \leq 1 + \frac{2}{d}$ 时，对于任意非平凡初值，期望 $\mathbb{E}[u(x,t)]$ 均在有限时间内爆破，即使存在噪声。
• 当初值足够大且 $m > 1$ 时，二阶矩 $\mathbb{E}[|u(x,t)|^2]$ 同样在有限时间内爆破。
• 整个空间中的爆破结果通过与确定性热方程的比较及热核估计建立，将Fujita的结果推广至随机情形。
• 噪声可在确定性方程具有全局解时诱导爆破，具体取决于非线性度与初值大小。
• 该方法适用于广义乘性噪声 $\sigma(u)$，包括非Lipschitz情形，显著扩展了现有爆破结果的适用范围。