[论文解读] Global existence and non-uniqueness for 3D Navier--Stokes equations with space-time white noise

Martina Hofmanová, Rongchan Zhu+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 28, 2021

Navier-Stokes equation solutions被引用 5

一句话总结

本文建立了三维纳维-斯托克斯方程在时空白噪声驱动下的全局时间存在性与非唯一性，其解为概率意义下的强解，该随机强迫具有高度奇异的特性。通过结合拟微分计算与凸积分法，作者在低于临界 $L^2$-尺度的正则性下构造了解，借助概率重正则化与精心分解的系统框架下的迭代构造，克服了未定义的对流项问题。

ABSTRACT

We establish global-in-time existence and non-uniqueness of probabilistically strong solutions to the three dimensional Navier--Stokes system driven by space-time white noise. In this setting, solutions are expected to have space regularity at most $-1/2-κ$ for any $κ>0$. Consequently, the convective term is ill-defined analytically and probabilistic renormalization is required. Up to now, only local well-posedness has been known. With the help of paracontrolled calculus we decompose the system in a way which makes it amenable to convex integration. By a careful analysis of the regularity of each term, we develop an iterative procedure which yields global non-unique probabilistically strong paracontrolled solutions.Our result applies to any divergence free initial condition in $L^{2}\cup B^{-1+κ}_{\infty,\infty}$, $κ>0$, and implies also non-uniqueness in law.

研究动机与目标

• 解决在时空白噪声驱动下三维纳维-斯托克斯方程的全局存在性与非唯一性问题，该情形下由于正则性过低，经典分析方法失效。
• 克服在时空白噪声存在下对流项的病态性，使标准分析工具不再适用。
• 通过构造具有最小正则性的全局概率强解，将随机流体动力学的适用范围扩展至局部适定性之外。
• 展示解的律非唯一性，表明多个不同的随机过程可在相同初始条件下满足同一随机PDE。
• 开发一种结合拟微分计算与凸积分法的稳健分析框架，用于处理具有超临界噪声的奇异SPDE。

提出的方法

• 利用拟微分计算将纳维-斯托克斯系统分解为可管理的组成部分，通过随机抛积与重正则化分离奇异的对流项。
• 采用凸积分法通过引入近似解序列并控制雷诺应力误差，迭代构造解。
• 应用停止时间论证与时间加权函数空间，控制解在无限时间区间上的增长。
• 引入速度增量 $v_q^1$ 与 $v_q^\flat$ 的分层构造，并在贝索夫空间与赫尔德空间中施加定制化的正则性估计。
• 使用带时间加权范数的热算子的Schauder型估计，控制解分量的正则性。
• 实施光滑化过程，并在迭代方案中精细调节参数，以确保收敛性并控制误差项。

实验结果

研究问题

• RQ1 三维纳维-斯托克斯方程在时空白噪声驱动下是否存在全局时间的概率强解？
• RQ2 在此高度奇异的随机设定下，即使初始条件相同，解的非唯一性是否可能？
• RQ3 拟微分计算能否有效与凸积分法结合，以处理具有时空白噪声的超临界SPDE？
• RQ4 在该随机设定下，初始数据所需的最小正则性是多少，才能实现全局解的构造？
• RQ5 系统是否表现出律的非唯一性，表明存在超越路径非唯一性的内在随机模糊性？

主要发现

• 对于任意 $\kappa > 0$，在 $L^2 \cup B^{-1+\kappa}_{\infty,\infty}$ 中的任意散度自由初始条件，全局时间的概率强解均存在。
• 已确立解的非唯一性：多个不同的解可从相同的初始条件与噪声实现中产生。
• 非唯一性在律的意义上成立，意味着解的分布并非由初始数据与噪声分布唯一确定。
• 所构造的解的空间正则性最多为 $-1/2 - \kappa$（对任意 $\kappa > 0$），反映了噪声的超临界性质。
• 迭代凸积分方案成功控制了雷诺应力，并确保在临界函数空间（如 $C_t B^{1/3 - 2\kappa}_{5/3,\infty}$）中收敛。
• 通过平衡时间加权正则性估计与拟微分分解中的随机抵消效应，实现了全局存在性。