[论文解读] Global Existence of Entropy-Weak Solutions to the Compressible Navier-Stokes Equations with Non-Linear Density Dependent Viscosities

Didier Bresch, Alexis Vasseur+1 more|arXiv (Cornell University)|May 7, 2019

Navier-Stokes equation solutions参考文献 33被引用 16

一句话总结

本文建立了具有非线性、密度依赖粘性系数和一般压力律 $ P( ho) = a ho^ u $（$ \gamma > 1 $）的可压缩纳维-斯托克斯方程的熵-弱解的全局存在性。通过扩展布雷施-德扎尔丹熵结构并使用改进的紧致性论证，作者证明了剪切粘性系数 $ \mu(\rho) = \mu\rho^\alpha $ 在 $ 2/3 < \alpha < 4 $ 时的全局存在性，解决了数学流体动力学中长期悬而未决的问题。

ABSTRACT

In this paper, we extend considerably the global existence results of entropy-weak solutions related to compressible Navier-Stokes system with density dependent viscosities obtained, independently (using different strategies), by Vasseur-Yu [Inventiones mathematicae (2016) and arXiv:1501.06803 (2015)] and by Li-Xin [arXiv:1504.06826 (2015)].More precisely we are able to consider a physical symmetric viscous stress tensor $σ=2μ(ρ)\,{\mathbb{D}}(u)+\bigl(λ(ρ){ m div}u -P(ρ)\bigr)\, { m Id}$ where ${\mathbb D}(u) = [ abla u + abla^T u]/2$ with a shear and bulk viscosities (respectively $μ(ρ)$ and $λ(ρ)$) satisfying the BD relation $λ(ρ)=2(μ'(ρ)ρ- μ(ρ))$ and a pressure law $P(ρ)=aρ^γ$ (with $a&gt;0$ a given constant) for any adiabatic constant $γ&gt;1$. The nonlinear shear viscosity $μ(ρ)$ satisfies some lower and upper bounds for low and high densities (our mathematical result includes the case $μ(ρ)= μρ^α$ with $2/3 &lt; α&lt; 4$ and $μ&gt;0$ constant). This provides an answer to a longstanding mathematical question on compressible Navier-Stokes equations with density dependent viscosities as mentioned for instance by F. Rousset in the Bourbaki 69ème année, 2016--2017, no 1135.

研究动机与目标

• 解决可压缩纳维-斯托克斯方程在非线性、密度依赖粘性系数下弱解全局存在性的长期悬而未决问题。
• 将熵-弱解框架扩展至包含一般压力律 $ P(\rho) = a\rho^\gamma $（$ \gamma > 1 $）的情形，超越常数粘性系数的情况。
• 在 $ \mu(\rho) $ 与 $ \lambda(\rho) $ 满足 BD 关系的条件下，建立剪切粘性系数 $ \mu(\rho) = \mu\rho^\alpha $ 的全局存在性，其中 $ 2/3 < \alpha < 4 $。
• 消除以往类似结果中所需的限制性假设，如人工阻尼项或真空附近奇异压力律。

提出的方法

• 利用布雷施-德扎尔丹（BD）熵结构，推导出密度函数梯度的先验估计，从而在速度场中实现紧致性。
• 应用修正版本的重整化连续性方程，以处理密度与速度之间非线性耦合的问题。
• 采用粘性正则化方法，并构造一系列严格正的粘性系数 $ \mu_n $ 的近似解 $ (\rho_n, u_n) $，随后在 $ \varepsilon_1 \to 0 $ 时取极限。
• 使用一列光滑且紧支集的函数 $ \varphi_n $ 近似恒等式，应用于动量方程，从而在弱形式中实现极限传递。
• 依赖补偿紧致性方法，并在 $ L^p $ 空间中对 $ \rho $ 和 $ \rho u $ 建立一致有界性，借助熵结构控制弱收敛。
• 应用勒贝格控制收敛定理与紧致性论证，实现动量方程和连续性方程中极限的传递，从而恢复弱解。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为具有非线性、密度依赖粘性系数和一般压力律 $ P(\rho) = a\rho^\gamma $，$ \gamma > 1 $ 的可压缩纳维-斯托克斯方程构造全局熵-弱解？
• RQ2 当 $ \mu(\rho) $ 为非线性且 $ \mu'(\rho) > 0 $ 时，布雷施-德扎尔丹熵结构是否仍能有效建立紧致性？
• RQ3 是否可以消除此类系统存在性理论中对人工阻尼项或真空附近奇异压力律的依赖？
• RQ4 在满足 BD 关系的条件下，$ \mu(\rho) = \mu\rho^\alpha $ 的指数 $ \alpha $ 的取值范围为何，可保证熵-弱解的全局存在性？
• RQ5 在无需额外正则性假设的前提下，能否证明重整化解满足纳维-斯托克斯方程的弱形式？

主要发现

• 本文证明了在满足 BD 关系的密度依赖粘性系数和一般压力律 $ P(\rho) = a\rho^\gamma $（任意 $ \gamma > 1 $）下，可压缩纳维-斯托克斯方程熵-弱解的全局存在性。
• 该结果适用于剪切粘性系数 $ \mu(\rho) = \mu\rho^\alpha $，其中 $ 2/3 < \alpha < 4 $，扩展了以往仅限于 $ \mu(\rho) = \rho $ 或常数粘性系数的结果。
• 作者建立了 $ \rho_n $ 在 $ C^0(0,T;L^p(\Omega)) $ 中的统一有界性，以及 $ \rho_n u_n $ 在 $ L^\infty(0,T;L^{\frac{p+1}{2p}}(\Omega)) $ 中的统一有界性，确保了密度与动量的强收敛。
• 近似解的极限满足连续性方程与动量方程的弱形式，从而证实了弱解的存在性。
• 通过 $ \varphi_n $-逼近过程构造的重整化解被证明满足完整的弱形式，因此在定义 1.2 的意义下恢复了弱解。
• 该证明消除了对人工阻尼项或真空附近奇异压力律的依赖，提供了更具物理一致性的存在性框架。