[论文解读] Global Generalized Bianchi Identities for Invariant Variational Problems on Gauge-natural Bundles

Marcella Palese, Ekkehart Winterroth|ArXiv.org|Nov 5, 2003

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 31被引用 16

一句话总结

本文在不预先假定联络的前提下，为规范自然丛上的经典拉格朗日场论建立了全局广义Bianchi恒等式。通过引入广义规范自然Jacobi同态并利用全局变分李导数，证明了诺特定电流的规范、全局定义的超势能可从对称性与变分结构中内在地构造出来，从而解决了协变场论与广义相对论中长期存在的问题。

ABSTRACT

We derive both {\em local} and {\em global} generalized {\em Bianchi identities} for classical Lagrangian field theories on gauge-natural bundles. We show that globally defined generalized Bianchi identities can be found without the {\em a priori} introduction of a connection. The proof is based on a {\em global} decomposition of the {\em variational Lie derivative} of the generalized Euler--Lagrange morphism and the representation of the corresponding generalized Jacobi morphism on gauge-natural bundles. In particular, we show that {\em within} a gauge-natural invariant Lagrangian variational principle, the gauge-natural lift of infinitesimal principal automorphism {\em is not} intrinsically arbitrary. As a consequence the existence of {\em canonical} global superpotentials for gauge-natural Noether conserved currents is proved without resorting to additional structures.

研究动机与目标

• 解决在不假设背景联络的前提下，规范自然场论中缺乏全局一致Bianchi恒等式的问题。
• 为在规范自然丛上经典拉格朗日场论中推导守恒流及其超势能，建立一个几何框架。
• 仅基于拉格朗日的对称性性质与变分结构，证明诺特定流的规范、全局定义的超势能的存在性。
• 阐明无穷小主丛自同构的规范自然提升的作用，表明其并非任意，而是受广义Jacobi同态核的约束。
• 通过变分序列与喷射上的分部积分技术，实现广义Bianchi恒等式的全局、内在推导。

提出的方法

• 在规范自然丛的有限阶喷射上构造变分序列，使用微分形式模接触子复形的商层。
• 将广义规范自然Jacobi同态定义为欧拉-拉格朗日同态的变分李导数，限制在无穷小主自同构的规范自然提升上。
• 应用第二诺特定理，将广义Jacobi同态的核与广义Bianchi同态的消失性联系起来。
• 利用Kolář的垂直同态全局分解公式，将拉格朗日的变分分解为Bianchi项与散度项的全局直和。
• 将广义Bianchi同态表示为二阶变分的商，表明其当且仅当变分属于Jacobi同态核时为零。
• 通过全局层同态ν(λ, K)构造规范超势能，使其散度等于守恒流减去其局部约化形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在不引入背景联络的前提下，何种条件可保证规范自然场论中全局定义的广义Bianchi恒等式存在？
• RQ2 如何内在地构造诺特定流的超势能，而不依赖于额外的几何结构（如联络）？
• RQ3 在变分对称的背景下，无穷小主自同构的规范自然提升的几何作用是什么？
• RQ4 广义规范自然Jacobi同态的核与广义Bianchi同态消失性之间有何关系？
• RQ5 在规范自然丛上的变分序列框架下，守恒流及其超势能的内在全局结构是什么？

主要发现

• 广义Bianchi同态β(λ, G(¯Ξ)V )全局为零，当且仅当无穷小自同构的规范自然提升G(¯Ξ)V 属于广义规范自然Jacobi同态J(λ, G(¯Ξ)V )的核。
• 广义Bianchi恒等式可从变分结构与对称性内在推导，无需预先假定联络或背景度量。
• 在规范自然拉格朗日场论中，诺特定流存在规范、全局定义的超势能ν(λ, K)，其可直接从广义Jacobi同态的核构造。
• 局部约化流˜ǫ(λ, G(¯Ξ)V )与流ǫ(λ, G(¯Ξ)V )在全局上等价，至多相差一个散度，如强守恒律DH(ǫ(λ, K) − ˜ǫ(λ, K)) = 0 所示。
• 无穷小主自同构的规范自然提升并非任意；其垂直分量必须满足广义Jacobi方程，而这些方程由广义Jacobi同态的核所编码。
• 超势能是全局良定义且内在于变分问题：ν(λ, K)是V^{n-2}_{2s-1}(Yζ ×_X K)中的规范层同态，确保无需辅助数据即可实现全局守恒律。