[论文解读] Global generalized characteristics for the Dirichlet problem for Hamilton-Jacobi equations at a supercritical energy level

Piermarco Cannarsa, Wei Cheng+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2018

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 16被引用 3

一句话总结

该论文研究了有界区域上超临界能量水平下Hamilton-Jacobi方程粘性解的奇点全局传播问题，证明奇点沿广义特征线传播并收敛至临界点。在更强假设下，表明解在边界附近整体具有拟凹性与拟凸性，将弱KAM理论推广至具有非齐次边界数据的Dirichlet问题。

ABSTRACT

We study the nonhomogeneous Dirichlet problem for first order Hamilton-Jacobi equations associated with Tonelli Hamiltonians on a bounded domain $Ω$ of $\R^n$ assuming the energy level to be supercritical. First, we show that the viscosity (weak KAM) solution of such a problem is Lipschitz continuous and locally semiconcave in $Ω$. Then, we analyse the singular set of a solution showing that singularities propagate along suitable curves, the so-called generalized characteristics, and that such curves stay singular unless they reach the boundary of $Ω$. Moreover, we prove that the latter is never the case for mechanical systems and that singular generalized characteristics converge to a critical point of the solution in finite or infinite time. Finally, under stronger assumptions for the domain and Dirichlet data, we are able to conclude that solutions are globally semiconcave and semiconvex near the boundary.

研究动机与目标

• 分析超临界能量水平下Hamilton-Jacobi方程Dirichlet问题粘性解的正则性与奇点结构。
• 将弱KAM理论推广至具有一般边界数据的有界区域上的非齐次Dirichlet问题。
• 刻画奇点沿广义特征线的传播行为及其收敛特性。
• 在更强的几何与边界数据假设下，建立解的整体拟凹性与拟凸性。

提出的方法

• 通过Mañé势能与相对基本解的表示公式，将粘性解表征为边界数据的下卷积，从而刻画解的结构。
• 应用弱KAM理论与Lax-Oleinik半群技术，分析解的结构及其奇点集。
• 引入广义特征线作为奇点传播的曲线，其来源于系统的哈密顿动力学。
• 通过引入一个恰当的1-形式对拉格朗日量进行变换，简化分析过程，同时保持临界值与解的结构不变。
• 在区域内部建立解的局部拟凹性与Lipschitz连续性。
• 施加更强的几何与边界数据条件，证明解在边界处整体具有拟凹性与拟凸性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在有界区域中，超临界能量水平下Hamilton-Jacobi方程粘性解的奇点如何传播？
• RQ2 在何种条件下广义特征线会持续保持奇点直至抵达边界，或在何时终止？
• RQ3 在对区域与边界数据施加更强假设时，解是否能在边界附近整体呈现拟凹性与拟凸性？
• RQ4 在力学系统中，解的截断点集与奇点集的拓扑结构如何？
• RQ5 解的临界点如何影响广义特征线的长期行为？

主要发现

• 粘性解在区域Ω的内部具有Lipschitz连续性，并且是局部拟凹的。
• 奇点沿广义特征线传播，除非抵达Ω的边界，否则始终保持奇点性质。
• 对于力学系统，广义特征线永远不会抵达边界，而是在有限或无限时间内收敛至解的临界点。
• 在更强的区域与边界数据假设下，解在边界附近整体具有拟凹性与拟凸性。
• 在给定假设下，临界值cΩ(L)为负，确保Mañé势能的有限性及解的存在性。
• 解满足相容性条件g(x) - g(y) ≤ ΦΩL(y,x)，对所有x,y ∈ ∂Ω成立，确保与表示公式的自洽性。