[论文解读] Global Geometry of Multichannel Sparse Blind Deconvolution on the Sphere

Yanjun Li, Yoram Bresler|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Sparse and Compressive Sensing Techniques被引用 7

一句话总结

该论文提出了一种用于多通道稀疏盲反卷积的非凸优化框架，通过在单位球面上对逆滤波器 $ h $ 的恢复进行公式化，以生成稀疏输出 $ y_i \circledast h $。在技术假设下，所有局部最小值均对应于未知信号 $ f $ 的逆，仅存在符号和时移模糊性，从而可通过流形梯度下降实现全局收敛，并展现出优越的实验性能。

ABSTRACT

Multichannel blind deconvolution is the problem of recovering an unknown signal $f$ and multiple unknown channels $x_i$ from their circular convolution $y_i=x_i \circledast f$ ($i=1,2,\dots,N$). We consider the case where the $x_i$'s are sparse, and convolution with $f$ is invertible. Our nonconvex optimization formulation solves for a filter $h$ on the unit sphere that produces sparse output $y_i\circledast h$. Under some technical assumptions, we show that all local minima of the objective function correspond to the inverse filter of $f$ up to an inherent sign and shift ambiguity, and all saddle points have strictly negative curvatures. This geometric structure allows successful recovery of $f$ and $x_i$ using a simple manifold gradient descent (MGD) algorithm. Our theoretical findings are complemented by numerical experiments, which demonstrate superior performance of the proposed approach over the previous methods.

研究动机与目标

• 为解决从其循环卷积 $ y_i = x_i \circledast f $ 中恢复未知信号 $ f $ 和稀疏通道 $ x_i $ 的挑战。
• 开发一种非凸优化公式，通过在单位球面上恢复逆滤波器 $ h $ 以生成稀疏输出。
• 建立几何保证——具体而言，所有局部最小值均对应于 $ f $ 的逆，仅存在符号和时移模糊性——从而实现全局恢复。
• 证明所有鞍点具有严格负曲率，确保通过流形梯度下降收敛至全局解。

提出的方法

• 将问题公式化为在单位球面上优化滤波器 $ h $，以最小化卷积输出 $ y_i \circledast h $ 上的稀疏性促进目标函数。
• 采用非凸优化框架，利用球面的几何结构以确保有利的优化景观特性。
• 采用流形梯度下降（MGD）高效导航优化景观，利用球面约束。
• 施加技术假设，确保唯一具有非负曲率的临界点为全局最小值（符号和时移模糊性除外）。
• 定义目标函数，使其局部最小值对应于未知信号 $ f $ 的逆，仅存在固有的模糊性。
• 分析目标函数的黑塞矩阵，证明所有鞍点具有严格负曲率，从而防止收敛至次优点。

实验结果

研究问题

• RQ1 在球面上的非凸优化公式能否在多通道稀疏盲反卷积中实现逆滤波器的全局恢复？
• RQ2 优化景观的何种几何特性可确保局部最小值对应于真实逆滤波器（符号和时移模糊性除外）？
• RQ3 所提公式的所有鞍点是否均具有严格负曲率，从而确保收敛至全局解？
• RQ4 在所提框架下，流形梯度下降能否成功恢复信号 $ f $ 和稀疏通道 $ x_i $？
• RQ5 所提方法在性能上与现有方法相比如何？

主要发现

• 所提目标函数的所有局部最小值均对应于未知信号 $ f $ 的逆，仅存在固有的符号和时移模糊性。
• 优化景观中的所有鞍点均具有严格负曲率，确保流形梯度下降避免收敛至次优解。
• 所提在球面上的非凸公式化方法，结合简单的流形梯度下降，可实现 $ f $ 和 $ x_i $ 的全局恢复。
• 数值实验表明，该方法在多通道稀疏盲反卷积中相比先前方法性能更优。
• 目标函数的几何结构在较弱的技术假设下可保证收敛至正确解。