[论文解读] Global Gorenstein dimensions of polynomial rings and of direct product of rings

Driss Bennis, Najib Mahdou|ArXiv.org|Dec 2, 2007

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 7被引用 11

一句话总结

本文将希尔伯特的分歧定理推广至戈伦斯坦同调维数，证明多项式环 R[X₁,…,Xₙ] 的戈伦斯坦整体维数等于 R 的戈伦斯坦整体维数加上 n。此外，本文还表明，环的有限直积可产生非诺特环的例子，其戈伦斯坦弱维数有限而经典弱维数无限，从而填补了戈伦斯坦环理论中长期存在的理论空白。

ABSTRACT

In this paper, we extend the well-known Hilbert's syzygy theorem to the Gorenstein homological dimensions of rings. Also, we study the Gorenstein homological dimensions of direct product of rings, which gives examples of non-Noetherian rings of finite Gorenstein dimensions and infinite classical weak dimension.

研究动机与目标

• 将希尔伯特的分歧定理推广至多项式环的戈伦斯坦同调维数。
• 研究戈伦斯坦整体维数与弱维数在环的直积下的行为。
• 构造具有有限戈伦斯坦弱维数和无限经典弱维数的非诺特环。
• 提供示例，以在诺特环之外更精确地理解戈伦斯坦维数理论。

提出的方法

• 利用强戈伦斯坦投射模与强戈伦斯坦平坦模来刻画戈伦斯坦投射维数与戈伦斯坦平坦维数。
• 通过涉及投射或内射模的正合序列来表征戈伦斯坦维数。
• 利用环的直积结构来分析非诺特环环境下的戈伦斯坦维数。
• 借助关于凝聚环与直积环中平坦维数的已知结果，特别是使用 [3, 第六章, 习题 10]。
• 利用直积环的戈伦斯坦弱维数为其各因子戈伦斯坦弱维数的上确界这一事实。
• 应用戈伦斯坦投射/内射维数之间的对偶性，以及对任意环 R 都有 G-PD(R) = G-ID(R) 的等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 希尔伯特的分歧定理是否可推广至多项式环中戈伦斯坦整体维数与弱维数？
• RQ2 环的直积能否产生具有有限戈伦斯坦弱维数和无限经典弱维数的非诺特环示例？
• RQ3 环的戈伦斯坦整体维数与其多项式扩张的戈伦斯坦整体维数之间的确切关系为何？
• RQ4 戈伦斯坦维数在环的有限直积下如何表现？
• RQ5 能否构造出一族具有指定有限戈伦斯坦弱维数和无限经典弱维数的非诺特环？

主要发现

• 多项式环 R[X₁,…,Xₙ] 的戈伦斯坦整体维数恰好为 G-gldim(R) + n。
• 有限个环的直积的戈伦斯坦弱维数是其各因子戈伦斯坦弱维数的上确界。
• 存在具有有限戈伦斯坦弱维数和无限经典弱维数的非诺特凝聚环。
• 对于非遗传的半遗传环 S，环 R × S[X₁,…,Xₙ] 满足 G-gldim > n+1 且 wdims = ∞，而 G-wdim = n+1。
• 此类环的构造依赖于半遗传环是稳定凝聚的这一事实，从而保证其多项式扩张的凝聚性。
• 本文证明：若 G-gldim(R × S[X₁,…,Xₙ]) ≤ n+1，则 S 必须是遗传的，这与 S 不是遗传的假设矛盾。