[论文解读] Global Gorenstein dimensions of polynomial rings and of direct products of rings

Driss Bennis, Najib Mahdou|ArXiv.org|Jan 3, 2008

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 6被引用 18

一句话总结

本文将希尔伯特的歧化定理推广至广义戈伦斯坦同调维数，证明多项式环 R[X₁,…,Xₙ] 的戈伦斯坦整体维数等于 R 的戈伦斯坦整体维数加上 n。此外，本文还确立了有限多个环的直积的戈伦斯坦弱维数等于各因子戈伦斯坦弱维数的上确界，从而可构造出具有有限戈伦斯坦维数但经典弱维数无限的非诺特环。

ABSTRACT

In this paper, we extend the well-known Hilbert's syzygy theorem to the Gorenstein homological dimensions of rings. Also, we study the Gorenstein homological dimensions of direct products of rings. Our results generate examples of non-Noetherian rings of finite Gorenstein dimensions and infinite classical weak dimension.

研究动机与目标

• 将希尔伯特的歧化定理推广至多项式环的戈伦斯坦同调维数。
• 刻画有限多个环的直积的戈伦斯坦整体维数与弱维数。
• 构造具有有限戈伦斯坦弱/整体维数但经典弱维数无限的非诺特凝聚环。
• 澄清非诺特环情形下经典维数与戈伦斯坦同调维数之间的关系。

提出的方法

• 利用强戈伦斯坦投射模与强戈伦斯坦平坦模作为刻画戈伦斯坦投射模与戈伦斯坦平坦模的工具。
• 证明若 M 是 R 上的戈伦斯坦投射模，则 M[X] 是 R[X] 上的戈伦斯坦投射模，从而建立戈伦斯坦投射维数的关键不等式。
• 通过有限平坦维数的内射模刻画直积环上戈伦斯坦平坦模的方法。
• 利用凝聚环上戈伦斯坦弱维数受模的戈伦斯坦平坦维数上确界的限制这一事实。
• 借助关于直积环上模的平坦维数的已知结果，特别是 fd_{R₁×R₂}(F₁×F₂) = sup{fd_{R₁}(F₁), fd_{R₂}(F₂)}
• 通过使用非半单拟弗罗贝尼乌斯环与非遗传半遗传环构造反例，以证明尽管戈伦斯坦弱维数有限，经典弱维数仍可为无限。

实验结果

研究问题

• RQ1 戈伦斯坦整体维数在环的多项式扩张下如何变化？
• RQ2 有限多个环的直积的戈伦斯坦弱维数是多少？
• RQ3 能否构造出具有有限戈伦斯坦弱维数但经典弱维数无限的非诺特环？
• RQ4 在何种条件下戈伦斯坦整体维数与弱维数与其经典对应量相等？

主要发现

• 多项式环 R[X₁,…,Xₙ] 的戈伦斯坦整体维数恰好为 G-gldim(R) + n，将希尔伯特的歧化定理推广至戈伦斯坦情形。
• 有限直积 ∏_{i=1}^m R_i 的戈伦斯坦弱维数等于各 R_i 戈伦斯坦弱维数的上确界。
• 存在非诺特凝聚环 R，使得对每个 i ≥ 1，均有 G-wdim(R) = i，G-gldim(R) > i，且 wdim(R) = ∞。
• 对非遗传的半遗传环 S，若 R 为非半单拟弗罗贝尼乌斯环，则环 R × S[X₁,…,Xₙ] 满足 G-wdim = n+1，G-gldim > n+1，且 wdim = ∞。
• 当 R 为诺特环时，R 的戈伦斯坦整体维数有限当且仅当 R 是某个 n 的 n-Gorenstein 环。
• 戈伦斯坦弱维数与整体维数细化了经典弱维数与整体维数，当经典弱维数有限时两者相等。