[论文解读] Global instability in the elliptic restricted three body problem

Amadeu Delshams, V. A. Kaloshin+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2015

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 21被引用 10

一句话总结

本文证明了在限制平面椭圆三体问题（RPETBP）中存在扩散轨道，其中一质量为零的粒子（彗星）在两个椭圆轨道运行的主天体引力作用下运动。通过分析抛物线运动并利用在抛物线无穷远处流形上的散射图，作者构建了具有任意角动量变化的伪轨道，这些伪轨道随后被真实轨道所逼近，从而证明了存在大范围角动量振荡的全局不稳定性。

ABSTRACT

The restricted planar elliptic three body problem (RPETBP) describes the motion of a massless particle (a comet) under the gravitational field of two massive bodies (the primaries, say the Sun and Jupiter) revolving around their center of mass on elliptic orbits with some positive eccentricity. The aim of this paper is to show the existence of orbits whose angular momentum performs arbitrary excursions in a large region. In particular, there exist diffusive orbits, that is, with a large variation of angular momentum. The leading idea of the proof consists in analysing parabolic motions of the comet. By a well-known result of McGehee, the union of future (resp. past) parabolic orbits is an analytic manifold. In a properly chosen coordinate system these manifolds are stable (resp. unstable) manifolds of a manifold at infinity $P_\infty$, which we call manifold at parabolic infinity. On this manifold, it is possible to define two scattering maps, which contain the map structure of the homoclinic trajectories to it, i.e. orbits parabolic both in the future and the past. Since the inner dynamics inside $P_\infty$ is trivial, two different scattering maps are used. The combination of these two scattering maps permits the design of the desired diffusive pseudo-orbits. Using shadowing techniques and these pseudo orbits we show the existence of true trajectories of the RPETBP whose angular momentum varies in any predetermined fashion.

研究动机与目标

• 证明在限制平面椭圆三体问题（RPETBP）中存在角动量变化可任意大的轨道。
• 通过构造在角动量上执行大范围振荡的轨道，建立RPETBP中的全局不稳定性。
• 利用无穷远处流形P∞的稳定与不稳定流形，分析在抛物线无穷远处的动力学行为。
• 在P∞上使用散射图来编码同宿轨道，并设计具有期望角动量行为的伪轨道。
• 应用逼近技术，将这些伪轨道转化为系统的真正轨迹。

提出的方法

• 作者使用McGehee变换分析抛物线轨道，结果表明未来与过去抛物线轨道的并集构成解析流形。
• 这些流形被识别为无穷远处流形P∞的稳定与不稳定流形，P∞被称为抛物线无穷远处的流形。
• 在P∞上定义了两个不同的散射图，用于捕捉未来和过去均为抛物线的轨道的动力学行为。
• 这两个散射图的复合使得能够设计具有预设角动量变化的伪轨道。
• 通过利用散射图的非平凡结构，构建了表现出任意角动量振荡的伪轨道。
• 应用逼近技术，证明了存在与这些伪轨道密切跟随的真实轨迹，从而确保了扩散轨道的存在。

实验结果

研究问题

• RQ1 在限制平面椭圆三体问题中，轨道是否能表现出角动量的任意大变化？
• RQ2 何种动力学结构使得在主天体呈椭圆运动的条件下，能够构造出此类扩散轨道？
• RQ3 如何利用抛物线无穷远处流形上的散射图来控制角动量演化？
• RQ4 在RPETBP中，具有预设角动量行为的伪轨道在多大程度上可被真实轨迹逼近？
• RQ5 抛物线无穷远处流形的非平凡几何结构在实现全局不稳定性中起到何种作用？

主要发现

• 本文证明了在RPETBP中存在角动量变化可任意大的扩散轨道，确认了全局不稳定性。
• 抛物线无穷远处的流形P∞支持两个不同的散射图，用于编码该流形上同宿轨道的动力学行为。
• 两个散射图的复合使得能够系统地设计出具有任意期望角动量变化的伪轨道。
• 通过应用逼近技术，作者证明了这些伪轨道可被系统的真正轨迹以C^1范数逼近。
• 结果适用于主天体轨道正偏心率的全部范围，确认了在广泛椭圆构型下的不稳定性。
• 该方法为在非自治、受扰动的哈密顿系统中构造具有预设动力学行为的轨道提供了稳健框架。