[论文解读] Global inversion of nonsmooth mappings on Finsler manifolds

Jesús Á. Jaramillo, Óscar Madiedo+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2012

Advanced Differential Geometry Research被引用 6

一句话总结

该论文通过在Finsler流形设定下引入广义微分概念并推广Hadamard积分条件，建立了Finsler流形之间局部Lipschitz映射为全局同胚的充分条件。证明了若Clarke广义微分的余范满足积分发散条件，则该映射是全局可逆的，且通过广义Jacobian的谱条件将结果应用于R^n上的Lipschitz映射。

ABSTRACT

We consider the problem of finding sufficient conditions for a locally Lipschitz mapping between Finsler manifolds to be a global homeomorphism. For this purpose, we develop the notion of Clarke generalized differential in this context and, using this, we obtain a version of the Hadamard integral condition for invertibility. As consequences, we deduce some global inversion and global injectivity results for Lipschitz mappings on $\mathbb{R}^n$ in terms of spectral conditions of its Clarke generalized differential.

研究动机与目标

• 建立Finsler流形之间局部Lipschitz映射为全局同胚的充分条件。
• 通过Finsler流形上的Clarke广义微分，将Hadamard积分条件推广至非光滑设定。
• 基于广义Jacobian的谱性质，推导R^n上Lipschitz映射的全局可逆性与单射性准则。
• 将先前在有限维空间中关于非光滑映射全局单射性与可逆性的结果进行推广。

提出的方法

• 利用Rademacher定理的极限微分，为光滑流形上的局部Lipschitz映射引入Clarke广义微分。
• 定义Finsler流形上Clarke广义微分的范数，并将其与上标量Dini导数及局部Lipschitz常数相关联。
• 基于Clarke广义微分的余范，建立Finsler流形上全局反演的Hadamard积分条件版本。
• 通过广义微分的特征值，推导R^n映射的Hadamard条件变体。
• 利用谱条件——特别是广义微分在零附近邻域内无特征值——推导全局可逆性。
• 通过扰动映射f_t(x) = f(x) - tx的极限论证及f_t的单射性，证明f的全局单射性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，Finsler流形之间的局部Lipschitz映射是全局同胚？
• RQ2 如何通过Finsler流形上的Clarke广义微分，将Hadamard积分条件推广至非光滑映射？
• RQ3 广义Jacobian的何种谱条件可确保R^n上Lipschitz映射的全局可逆性？
• RQ4 广义微分的谱在复平面上是否存在谱隙，可否据此推导出全局单射性？
• RQ5 扰动f_t(x) = f(x) - tx如何帮助证明f的全局单射性？

主要发现

• 若其Clarke广义微分的余范的下确界积分发散，则Finsler流形之间的局部Lipschitz映射是全局同胚。
• 对于R^n上的Lipschitz映射，若广义微分在零附近邻域内无特征值，即谱避开以零为中心的闭圆盘，则全局可逆性成立。
• 若广义微分的谱避开复平面上位于实轴上、收敛于零的一系列紧致闭圆盘，则全局单射性得以保证。
• 论文证明：若∂f(x)的谱包含于左半平面（Re(z) < 0），则f是全局单射的。
• 一个关键的技术结果表明，逆矩阵范数被一个谱函数s(t)从下方有界，从而导致积分条件发散。
• 证明依赖于非光滑版本的反函数定理及通过扰动f_t的极限论证，以推导f的单射性。