[论文解读] Global large solutions to 3-D inhomogeneous Navier-Stokes system with one slow variable

Jean-Yves Chemin, Marius Paicu+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2013

Navier-Stokes equation solutions参考文献 24被引用 26

一句话总结

本文在等熵Besov空间中对初始密度涨落施加临界小性条件，并对水平速度分量相对于垂直分量施加各向异性小性条件，建立了三维非齐次不可压缩Navier-Stokes方程大解的全局存在性与唯一性。关键贡献在于在临界Besov空间中一致传播各向异性正则性与密度结构，从而实现大初始垂直速度下的全局适定性。

ABSTRACT

In this paper, we are concerned with the global wellposedness of 3-D inhomogeneous incompressible Navier-Stokes equations \eqref{1.3} in the critical Besov spaces with the norm of which are invariant by the scaling of the equations and under a nonlinear smallness condition on the isentropic critical Besov norm to the fluctuation of the initial density and the critical anisotropic Besov norm of the horizontal components of the initial velocity which have to be exponentially small compared with the critical anisotropic Besov norm to the third component of the initial velocity. The novelty of this results is that the isentropic space structure to the homogeneity of the initial density function is consistent with the propagation of anisotropic regularity for the velocity field. In the second part, we apply the same idea to prove the global wellposedness of \eqref{1.3} with some large data which are slowly varying in one direction.

研究动机与目标

• 在临界Besov空间中建立三维非齐次不可压缩Navier-Stokes方程大初值的全局适定性。
• 通过在水平速度分量上引入各向异性小性条件，解决大初始垂直速度带来的挑战。
• 确保初始密度的等熵结构与速度场中各向异性正则性的传播保持一致。
• 通过尺度不变性与精细的各向异性Besov空间估计，将先前的小初值结果推广至大初值情形。
• 利用Littlewood-Paley理论与各向异性函数空间，在最小正则性假设下证明唯一性与全局存在性。

提出的方法

• 以变量 $ a = rac{1}{ ho} - 1 $ 表述非齐次Navier-Stokes系统，将系统转化为非线性输运-扩散系统。
• 采用临界各向异性Besov空间 $ ilde{L}^ au_t(rak{B}^s_{p,q}) $ 以捕捉解的尺度不变性与各向异性正则性。
• 应用Littlewood-Paley理论将速度与密度分解为频率二进块，并通过抛积与余项估计控制非线性项。
• 通过二进分解与各向异性Besov范数中的能量估计，控制速度与密度涨落的演化。
• 引入小参数 $ ho $ 以控制初值大小，确保水平速度分量相对于垂直分量的小性。
• 利用时间依赖范数与Gronwall型不等式建立归纳法，将局部解延拓至全局时间。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在初始垂直速度较大的情况下，为三维非齐次Navier-Stokes方程建立全局适定性？
• RQ2 当初始密度具有临界正则性时，如何一致传播速度场的各向异性正则性？
• RQ3 对初值的何种小性条件可确保即使初始垂直速度较大，解仍具有全局存在性？
• RQ4 临界Besov空间框架能否被调整以处理具有一个慢变方向的大数据？
• RQ5 初始密度的等熵结构在实现大速度分量的全局解中起到何种作用？

主要发现

• 在临界Besov空间中，即使初始垂直速度较大，三维非齐次Navier-Stokes系统的解仍具有全局存在性与唯一性。
• 解满足 $ u o { m C}([0, au); rak{B}^{-1+rac{3}{p_ ho}}_{p_ ho}) igcap ilde{L}^ au(rak{B}^{1+rac{3}{p_ ho}}_{p_ ho}) $，其中 $ au = au^* $，且 $ p_ ho < 4 $，从而保证全局正则性。
• 小性条件要求具有 $ ho $-依赖衰减：$ ho^{ ho - 1/p_ ho} $，且 $ ho > 1/4 $，确保解在时间上保持有界。
• 水平速度分量的范数必须相对于垂直分量呈指数衰减，从而在大初值下仍能实现全局控制。
• 解满足 $ a o { m C}([0, au); rak{B}^{rac{3}{p_ ho}}_{p_ ho}) igcap ilde{L}^ au(rak{B}^{rac{3}{p_ ho}}_{p_ ho}) $，证实了密度正则性的持续性。
• 唯一性由文献[15]中的定理1保证，该定理适用于临界Besov框架下的乘子空间，确保解在允许数据类中唯一。