[论文解读] Global Lipschitz stability for inverse problems for radiative transport equations

Manabu Machida, Masahiro Yamamoto|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2020

Numerical methods in inverse problems参考文献 22被引用 4

一句话总结

本文通过开发一种针对速度域划分的分段线性权函数的新Carleman估计，建立了辐射传输方程反问题的全局Lipschitz稳定性。该方法消除了先前工作中对速度方向的限制性假设，仅需初始数据和源因子严格为正，即可在不扩展解或施加速度锥约束的条件下实现稳定性。

ABSTRACT

We consider inverse problems of determining coefficients or time independent factors of source terms in radiative transport equations by means of Carleman estimate. We establish global Lipschitz stability results with an additional condition which requires some strict positivity for initial value or given factor of source, but we need not any extra conditions on domains of velocities, which is the main achievement of this article compared with the existing work by Machida and Yamamoto ({\it Inverse Problems} {\bf 30} 035010, 2014). The proof relies on a Carleman estimate with a piecewise linear weight function according to the partition of the velocity domain.

研究动机与目标

• 在最小假设下，建立辐射传输方程反系数问题的全局Lipschitz稳定性。
• 消除对速度域限制（如(v·γ) > 0）的需求，从而扩展先前应用的适用范围。
• 开发一种基于分段速度域划分的分段线性权函数的Carleman估计。
• 仅利用初始数据和源因子的正性，证明稳定性结果，无需对解在(−T, T)上进行扩展或假设对称性。
• 通过消除对σ或速度结构的额外条件，推广Machida与Yamamoto（2014）的先前结果。

提出的方法

• 利用分段线性权函数φ_i(x,t) = (γ_j·x) − βt，推导新的Carleman估计，其中γ_j为划分速度域V的固定向量。
• 将速度域V划分为m个子域V_i，每个子域对应一个独立的权函数φ_i，以处理方向依赖性。
• 将Carleman估计应用于具有未知系数σ和时间不变源因子的辐射传输方程。
• 利用初始数据a(x,v)和因子R(x,v,0) > 0的正性，控制低阶项并导出稳定性估计。
• 采用能量估计，并在时空上积分，通过边界测量有界系数差的L²范数。
• 利用在Γ₊上测量的albedo型数据结构，控制系数恢复中的误差。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不将速度域限制于锥形区域的条件下，为反辐射传输问题建立全局Lipschitz稳定性？
• RQ2 是否可以消除Carleman基稳定性证明中对解在(−T, T)上扩展及对称性条件(1.4)的需求？
• RQ3 在具有有界速度域V且0 ∉ V̄的一般情况下，Carleman估计中的分段线性权函数能否有效处理？
• RQ4 初始数据和源因子的正性如何影响系数恢复的稳定性？
• RQ5 速度域划分在构造非定常辐射传输方程有效Carleman估计中的作用是什么？

主要发现

• 在辐射传输方程中恢复σ和时间不变源因子的反问题中，建立了全局Lipschitz稳定性。
• 稳定性结果无需将解扩展至(−T, T)，与先前工作不同。
• 该方法消除了对速度域上(v·γ) > 0的限制性条件，允许任意有界V满足0 ∉ V̄。
• 关键的Carleman估计基于将速度域划分为m个子域的分段线性权函数构建。
• 证明依赖于初始数据a(x,v)和因子R(x,v,0)在Ω̄ × V̄上的严格正性，这对稳定性估计至关重要。
• 最终的稳定性估计将系数差的L²范数有界于Γ₊上测量误差的倍数，且对Carleman参数s具有指数依赖性。