[论文解读] Global maximum principles and divergence theorems on complete manifolds with boundary

Debora Impera, Stefano Pigola+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 12, 2013

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 27被引用 5

一句话总结

本论文将弱极大值原理和分部积分法推广至带边界的非紧黎曼流形，引入了一种新的全局极大值原理和适用于具有诺伊曼型边界条件的流形的散度定理。关键贡献在于，这些工具的有效性刻画了诺伊曼抛物性，从而在乘积空间 $N \times \mathbb{R}$ 中的常平均曲率图上导出新的几何结果，包括在超水平集体积有限的条件下进行高度估计和截面型定理。

ABSTRACT

In this paper we extend to non-compact Riemannian manifolds with boundary the use of two important tools in the geometric analysis of compact spaces, namely, the weak maximum principle for subharmonic functions and the integration by parts. The first one is a new form of the classical Ahlfors maximum principle whereas the second one is a version for manifolds with boundary of the so called Kelvin-Nevanlinna-Royden criterion of parabolicity. In fact, we will show that the validity of non-compact versions of these tools serve as a characterization of the Neumann parabolicity of the space. The motivation underlying this study is to obtain new information on the geometry of graphs with prescribed mean curvature inside a Riemannian product of the type $N imes\mathbb{R}$. In this direction two kind of results will be presented: height estimates for constant mean curvature graphs parametrized over unbounded domains in a complete manifold and slice type results for graphs whose superlevel sets have finite volume.

研究动机与目标

• 将几何分析中在紧致流形上使用的关键工具——弱极大值原理与分部积分法——推广至带边界的非紧黎曼流形。
• 通过流形上全局极大值原理与散度定理的有效性，刻画诺伊曼抛物性。
• 将这些工具应用于推导乘积空间 $N \times \mathbb{R}$ 中具有预设平均曲率的图的几何结果。
• 在完备流形中无界区域上，为常平均曲率超曲面建立高度估计。
• 在超水平集体积有限的条件下，证明关于超曲面的截面型定理。

提出的方法

• 为带边界的流形上次调和函数引入一种新的弱极大值原理形式，使用 $W^{1,2}_{\text{loc}}(D)$ 中的弱诺伊曼次调和解。
• 通过不等式 $-\int_D \langle \nabla u, \nabla \varphi \rangle \geq 0$ 对所有非负 $\varphi \in C_c^\infty(D)$ 定义弱诺伊曼解。
• 在带边界的流形上建立 $L^2$-向量场的全局散度定理，推广Kelvin-Nevanlinna-Royden准则。
• 利用 $L^2$-Stokes 定理，在超水平集体积有限的假设下，推导半空间中超曲面的截面型结果。
• 将极大值原理与散度定理的有效性与底层流形的诺伊曼抛物性联系起来。
• 将该框架应用于乘积空间 $N \times \mathbb{R}$，以分析具有预设平均曲率的图。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，全局极大值原理在非紧黎曼流形带边界上成立？
• RQ2 如何在 $L^2$-框架下将分部积分与散度定理推广至带边界的流形？
• RQ3 从这些扩展工具的有效性中，可以推导出 $N \times \mathbb{R}$ 中图的哪些几何性质？
• RQ4 诺伊曼抛物性如何与半空间中超曲面的超水平集体积有限性相关联？
• RQ5 能否利用这些工具在无界区域上建立常平均曲率图的高度估计？

主要发现

• 弱诺伊曼次调和解的全局极大值原理的有效性刻画了带边界的流形的诺伊曼抛物性。
• 在带边界的流形上建立了 $L^2$-向量场的全局散度定理，推广了Kelvin-Nevanlinna-Royden准则。
• 在诺伊曼抛物性假设下，为完备流形中无界区域上的常平均曲率图获得了高度估计。
• 当超水平集体积有限时，在相同抛物性条件下，证明了半空间中超曲面的截面型定理。
• 该框架确认了 $\mathbb{R}^3$ 中的完备极小图是 $\mathcal{D}$-抛物的，通过分析方法复现了Neel的结果。
• 本文建立了内在二次体积增长与 $\mathcal{D}$-抛物性之间的联系，表明由于体积增长条件，此类图是 $\mathcal{D}$-抛物的。