[论文解读] Global null-controllability and nonnegative-controllability of slightly superlinear heat equations

Kévin Le Balc’h|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2018

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 49被引用 24

一句话总结

本文通过一种新颖的 $L^1$ 卡莱曼估计和卡库塔尼-勒雷-施瓦兹不动点方法，建立了略超线性热方程在狄利克雷或诺伊曼边界条件下全局零可控性和非负可控性。该工作解决了自2000年以来悬而未决的开问题 $α ∈ [3/2, 2)$ 时，非线性项 $f(s) = \pm |s|\log^\alpha(2+|s|)$ 的情形，证明了即使自由解可能出现爆破，任何初始数据仍可在足够大的时间下被全局控制至零。

ABSTRACT

We consider the semilinear heat equation posed on a smooth bounded domain $Ω$ of $\mathbb{R}^{N}$ with Dirichlet or Neumann boundary conditions. The control input is a source term localized in some arbitrary nonempty open subset $ω$ of $Ω$. The goal of this paper is to prove the uniform large time global null-controllability for semilinearities $f(s) = \pm |s| \log^α(2+|s|)$ where $α\in [3/2,2)$ which is the case left open by Enrique Fernandez-Cara and Enrique Zuazua in 2000. It is worth mentioning that the free solution (without control) can blow-up. First, we establish the small-time global nonnegative-controllability (respectively nonpositive-controllability) of the system, i.e., one can steer any initial data to a nonnegative (respectively nonpositive) state in arbitrary time. In particular, one can act locally thanks to the control term in order to prevent the blow-up from happening. The proof relies on precise observability estimates for the linear heat equation with a bounded potential $a(t,x)$. More precisely, we show that observability holds with a sharp constant of the order $\exp\left(C |a|\_{\infty}^{1/2} ight)$ for nonnegative initial data. This inequality comes from a new $L^1$ Carleman estimate. A Kakutani's fixed point argument enables to go back to the semilinear heat equation. Secondly, the uniform large time null-controllability result comes from three ingredients: the global nonnegative-controllability, a comparison principle between the free solution and the solution to the underlying ordinary differential equation which provides the convergence of the free solution toward $0$ in $L^{\infty}(Ω)$-norm, and the local null-controllability of the semilinear heat equation.

研究动机与目标

• 填补自2000年以来关于半线性热方程在非线性项 $f(s) = \pm |s|\log^\alpha(2+|s|)$ 且 $\alpha \in [3/2, 2)$ 时全局零可控性的研究空白。
• 建立此类非线性项的小时间全局非负可控性，确保控制可防止爆破。
• 通过结合非负可控性、比较原理与局部零可控性，证明统一的大时间全局零可控性。
• 将分析推广至具有梯度相关非线性项的系统以及在适当符号与增长条件下的一类反应-扩散系统。

提出的方法

• 为带有有界势的线性热方程推导一种新的 $L^1$ 卡莱曼估计，得到观测性不等式，其最优常数为 $\exp\left(C\|a\|_{\infty}^{1/2}\right)$，适用于非负初始数据。
• 利用新得到的 $L^1$ 卡莱曼估计，建立带有一致有界势的线性方程的 $L^2$-$L^1$ 观测性不等式。
• 应用卡库塔尼-勒雷-施瓦兹不动点定理，将线性非负可控性推广至半线性情形。
• 通过自由解与一个常微分方程解之间的比较原理，证明当时间趋于无穷时，自由解在 $L^\infty(\Omega)$ 范数下收敛于零。
• 利用半线性系统的局部零可控性以及自由解的收敛性，构造出大时间下的全局零控制。
• 在非线性项满足符号与增长条件的前提下，将结果推广至含 $m$ 个方程的系统，使用向量值比较原理。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为半线性热方程在非线性项 $f(s) = \pm |s|\log^\alpha(2+|s|)$ 且 $\alpha \in [3/2, 2)$ 的情形下建立全局零可控性？此问题自 Fernandez-Cara 与 Zuazua (2000) 以来一直未解决。
• RQ2 对于此类非线性项，是否可实现小时间全局非负可控性，从而使得控制能够防止爆破？
• RQ3 对于具有非负初始数据的半线性热方程，其自由解是否能在大时间下于 $L^\infty(\Omega)$ 范数下收敛至零，即使在无控制时可能发生爆破？
• RQ4 非线性项需满足何种条件，才能确保具有超线性增长的耦合半线性热方程系统具有全局零可控性？
• RQ5 该控制策略能否推广至非线性项依赖于状态梯度或在方程间相互耦合的系统？

主要发现

• 本文为非线性项 $f(s) = \pm |s|\log^\alpha(2+|s|)$ 且 $\alpha \in [3/2, 2)$ 的半线性热方程建立了小时间全局非负可控性，意味着任意初始数据均可在任意时间内被控制至非负状态。
• 提出的新 $L^1$ 卡莱曼估计导出了一个具有最优常数 $\exp\left(C\|a\|_{\infty}^{1/2}\right)$ 的观测性不等式，适用于非负初始数据，从而实现了对线性化系统的控制。
• 在 $\alpha \in [3/2, 2)$ 条件下，具有非负初始数据的半线性热方程的自由解在时间趋于无穷时，其在 $L^\infty(\Omega)$ 范数下收敛于零，即使在无控制时可能发生爆破。
• 通过结合非负可控性、自由解的收敛性与局部零可控性，本文证明了该类非线性项在大时间下的统一全局零可控性。
• 在满足符号条件 $\sum f_i(r) \leq -C(\sum r_i)\log^\alpha(2 + \sum r_i)$ 且 $\alpha \in (1,2)$ 的前提下，结果可推广至 $m$ 个耦合的半线性热方程系统，确保在足够大时间下具有全局零可控性。
• 该框架适用于狄利克雷与诺伊曼边界条件，且在相同假设下可得到相同结果。