[论文解读] Global-phase portrait and large-degree asymptotics for the Kissing polynomials

Deaño Cabrera, Alfredo, Ahmad Barhoumi+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2020

Mathematical functions and polynomials参考文献 65被引用 2

一句话总结

本文研究了在树状结构雅可比矩阵上，具有两个解析权函数的安赫列斯科系统（Angelesco systems）的递推系数和多重正交多项式（MOPs）的大次数渐近性质。通过黎曼-希尔伯特问题分析与谱论方法，证明了相关雅可比算子的纯谱为正交区间之并，从而解决了多重正交多项式在树结构背景下一个关键的谱表征问题。

ABSTRACT

Studies in Applied Mathematics published by Wiley Periodicals LLCWe study a family of monic orthogonal polynomials that are orthogonal with respect to the varying, complex-valued weight function, (Formula presented.), over the interval (Formula presented.), where (Formula presented.) is arbitrary. This family of polynomials originally appeared in the literature when the parameter was purely imaginary, that is, (Formula presented.), due to its connection with complex Gaussian quadrature rules for highly oscillatory integrals. The asymptotics for these polynomials as (Formula presented.) have recently been studied for (Formula presented.), and our main goal is to extend these results to all (Formula presented.) in the complex plane. We first use the technique of continuation in parameter space, developed in the context of the theory of integrable systems, to extend previous results on the so-called modified external field from the imaginary axis to the complex plane minus a set of critical curves, called breaking curves. We then apply the powerful method of nonlinear steepest descent for oscillatory Riemann¿Hilbert problems developed by Deift and Zhou in the 1990s to obtain asymptotics of the recurrence coefficients of these polynomials when the parameter (Formula presented.) is away from the breaking curves. We then provide the analysis of the recurrence coefficients when the parameter (Formula presented.) approaches a breaking curve, by considering double scaling limits as (Formula presented.) approaches these points. We see a qualitative difference in the behavior of the recurrence coefficients, depending on whether or not we are approaching the points (Formula presented.) or some other points on the breaking curve.

研究动机与目标

• 表征具有两个解析权函数的安赫列斯科系统下，递推系数和多重正交多项式（MOPs）的大次数渐近行为。
• 分析由此类MOPs生成的根植卡莱树上定义的雅可比矩阵的谱性质。
• 利用MOPs的渐近分析，确定相关自伴雅可比算子的纯谱。
• 将树状结构雅可比矩阵与多重正交多项式之间的联系拓展至先前结果之外。
• 沿所有射线方向（包括边缘与非边缘序列）提供MOPs的强渐近性质。

提出的方法

• 通过与安赫列斯科系统相关的MOPs的矩阵黎曼-希尔伯特问题（RHP）表述问题。
• 应用Deift-Zhou非线性最陡下降法分析RHP，推导MOPs的强渐近性质。
• 利用共形映射与模型RHP，在分支点与谱区间附近构造局部参数解。
• 通过辅助估计与递推关系控制子树上m函数与预解函数的行为。
• 运用谱论与Herglotz函数的边界值分析，表征谱测度及其支撑集。
• 在树上建立预解函数的亚纯性与解析性性质，以证明谱测度的绝对连续性。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有两个解析权函数的安赫列斯科系统下，递推系数的大次数渐近性质是什么？
• RQ2 多重正交多项式在多指标空间中所有可能的射线序列上的渐近行为如何？
• RQ3 通过安赫列斯科系统在树上定义的雅可比矩阵的纯谱结构是什么？
• RQ4 树上各顶点的谱测度如何与平衡测度及正交区间相关联？
• RQ5 在安赫列斯科情形下，纯谱能否被完全表征为正交区间的并集？

主要发现

• 与安赫列斯科系统相关的MOPs的递推系数沿所有射线序列（包括边缘与非边缘方向）收敛。
• MOPs的强渐近性质在所有多指标射线序列上一致成立，涵盖完全边缘与非边缘情形。
• 树上雅可比矩阵的纯谱恰好为正交区间的并集，即 σess(J) = ∆c,1 ∪ ∆c,2。
• 所有顶点的谱测度均为纯绝对连续测度，且支撑集恰好为 ∆c,1 ∪ ∆c,2，无奇异分量。
• 与树算子相关的预解函数与Herglotz变换在正交区间并集之外为亚纯函数。
• 在极限情形 c ∈ {0,1} 下，谱包含孤立点（如 α₁ 或 β₂），与算子的直和分解一致。