[论文解读] Global Prym-Torelli for double coverings ramified in at least 6 points

Juan Carlos Naranjo, Ángela Ortega|arXiv (Cornell University)|May 22, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用 8

一句话总结

该论文证明了，对于所有 $ g > 0 $ 且 $ r \geq 6 $，具有 $ r $ 个分支点的双覆盖曲线的分岔普里姆映射 $\mathcal{P}_{g,r}$ 是一个嵌入。此外，论文还表明，当 $ r = 2 $ 和 $ r = 4 $ 时，若限制在双曲曲线上的覆盖，则该映射具有正维纤维，通过二重构造法和普里姆簇的对偶性，以双有理方式分析了这些纤维。

ABSTRACT

We prove that the ramified Prym map $\mathcal P_{g, r}$ which sends a covering $π:D\longrightarrow C$ ramified in $r$ points to the Prym variety $P(π):= ext{Ker}( ext{Nm}_π)$ is an embedding for all $r\ge 6$ and for all $g(C)>0$. Moreover, by studying the restriction to the locus of coverings of hyperelliptic curves, we show that $\mathcal P_{g, 2}$ and $\mathcal P_{g, 4}$ have positive dimensional fibers.

研究动机与目标

• 确定对于哪些亏格 $ g $ 和分支数 $ r $，分岔普里姆映射 $\mathcal{P}_{g,r}$ 是全局单射（即嵌入）。
• 研究经典未分支情形下的直觉——即广义四角构造导致非单射性——是否可推广至分支情形。
• 解决关于 $\mathcal{P}_{g,r}$ 在 $ r \geq 6 $ 时是否单射的开放问题，该结论与未分支情形下的初始预期相反。
• 分析 $\mathcal{P}_{g,r}^h$（即普里姆映射限制在双曲曲线上的覆盖）在 $ r = 2 $ 和 $ r = 4 $ 时的纤维结构。

提出的方法

• 通过分析普里姆映射 $\mathcal{P}_{g,r}$ 的微分，利用余微分映射 $\operatorname{Sym}^2 H^0(C, \omega_C \otimes \eta) \to H^0(C, \omega_C^2 \otimes \mathcal{O}(B))$，借助 Clifford 指数与次数界，证明当 $ r \geq 6 $ 时其单射性。
• 将二重构造法应用于双曲曲线上的双覆盖，将覆盖的普里姆簇与一个亏格为 $\frac{r}{2} - 1$ 的相关覆盖的普里姆簇的对偶联系起来。
• 利用包含二重构造、遗忘映射与极化阿贝尔簇对偶性的交换图，双有理地将 $\mathcal{P}_{g,r}^h$ 的纤维识别为遗忘映射的纤维。
• 借助已知结果（Ikeda 的结论）：当 $ r \geq 6 $ 时 $\mathcal{P}_{1,r}$ 是单射，从而推出 $\mathcal{P}_{g,r}^h$ 在这些情况下亦为单射。
• 应用广义四角构造与线性系统理论，刻画微分不满足满射的情形，识别出例外情况 $ r = 2, 4 $。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ r \geq 6 $ 时，分岔普里姆映射 $\mathcal{P}_{g,r}$ 是否是全局单射？
• RQ2 当 $ r = 2 $ 或 $ r = 4 $ 时，$\mathcal{P}_{g,r}$ 是否存在正维纤维？
• RQ3 能否显式描述 $\mathcal{P}_{g,r}^h$（限制在双曲基曲线上的映射）在 $ r = 2 $ 和 $ r = 4 $ 时的纤维结构？
• RQ4 二重构造是否提供了双有理等价，从而允许对 $\mathcal{P}_{g,r}^h$ 的纤维进行分析？
• RQ5 相关覆盖的普里姆簇之间是否存在对偶性，从而解释 $ r = 2, 4 $ 情况下的纤维结构？

主要发现

• 对于所有 $ g > 0 $ 且 $ r \geq 6 $，分岔普里姆映射 $\mathcal{P}_{g,r}$ 是一个嵌入，从而在该情形下确立了全局普里姆-托雷利定理。
• 当 $ r = 2 $ 时，$\mathcal{P}_{g,2}^h$ 的一般纤维双有理同构于 $\mathbb{P}^2$，即射影平面。
• 当 $ r = 4 $ 时，$\mathcal{P}_{g,4}^h$ 的一般纤维双有理同构于一条椭圆曲线。
• $\mathcal{P}_{g,r}$ 的微分在所有 $ r \geq 6 $ 时均为单射，这是证明其嵌入性质的关键步骤。
• 二重构造法在 $\mathcal{RH}_{g,r}$ 与 $\mathbb{P}^1$ 上覆盖的模空间之间提供了双有理映射，从而实现了对 $ r = 2, 4 $ 情形的纤维分析。
• $\mathcal{P}_{g,r}^h$ 在 $ r = 2 $ 和 $ r = 4 $ 时的纤维来源于具有正维纤维的遗忘映射，其分别为 $\mathbb{P}^2$ 和一条椭圆曲线。