[论文解读] Global regularity and convergence of a Birkhoff-Rott-alpha approximation of the dynamics of vortex sheets of the 2D Euler equations

Claude Bardos, Jasmine S. Linshiz+1 more|ArXiv.org|Feb 19, 2009

Navier-Stokes equation solutions参考文献 65被引用 5

一句话总结

本文从二维欧拉-α方程推导出一种正则化的毕尔霍夫-罗特定律-α模型，用于研究涡量片动力学。证明了在初始为利普希茨连续、赫尔德连续或更高阶赫尔德连续的涡量片条件下，解的全局存在性与正则性，并建立了欧拉-α解在初始涡度为带符号的雷多恩测度时收敛于原始欧拉方程弱解的结论。

ABSTRACT

We present an alpha-regularization of the Birkhoff-Rott equation, induced by the two-dimensional Euler-alpha equations, for the vortex sheet dynamics. We show the convergence of the solutions of Euler-alpha equations to a weak solution of the Euler equations for initial vorticity being a finite Radon measure of fixed sign, which includes the vortex sheets case. We also show that, provided the initial density of vorticity is an integrable function over the curve with respect to the arc-length measure, (i) an initially Lipschitz chord arc vortex sheet (curve), evolving under the BR-alpha equation, remains Lipschitz for all times, (ii) an initially Holder C^{1,beta}, 0 <= beta < 1, chord arc curve remains in C^{1,beta} for all times, and finally, (iii) an initially Holder C^{n,beta}, n <= 1, 0 < beta < 1, closed chord arc curve remains so for all times. In all these cases the weak Euler-alpha and the BR-alpha descriptions of the vortex sheet motion are equivalent.

研究动机与目标

• 为解决经典毕尔霍夫-罗特定律方程在涡量片情形下由于开尔文-亥姆霍兹不稳定性导致的不适定性问题。
• 在保持动力学物理结构的前提下，建立涡量片演化在正则化下解的全局正则性与长时间存在性。
• 证明当初始涡度为带符号的雷多恩测度时，欧拉-α方程解收敛于原始二维欧拉方程的弱解。
• 在涡量片初始正则性条件满足时，证明弱欧拉-α与BR-α描述之间的等价性。

提出的方法

• 从二维欧拉-α方程引入一种毕尔霍夫-罗特定律-α（BR-α）方程，通过平滑核提供非局部正则化速度场。
• 将欧拉-α模型用作类似黏性的正则化方法，以保持原始欧拉系统不可压缩性与守恒律。
• 应用弱解理论与雷多恩测度理论，处理初始涡度集中于具有固定符号的曲线上的情形。
• 利用对涡量片曲线的赫尔德与利普希茨正则性估计，控制曲率与导数的增长。
• 应用勒贝格控制收敛定理与正则化核的渐近分析，控制奇异积分。
• 通过能量与导数估计，在初始正则性假设下，建立BR-α与弱欧拉-α公式之间的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 涡量片的毕尔霍夫-罗特定律方程能否通过正则化手段确保在物理上合理的初始条件下解的全局存在性与光滑演化？
• RQ2 当初始涡度为带符号的雷多恩测度时，欧拉-α方程的解是否收敛于原始二维欧拉方程的弱解？
• RQ3 在何种初始涡量片正则性假设下（例如利普希茨、C^{1,β}、C^{n,β}），BR-α解能对所有时间保持一致正则性？
• RQ4 对于具有足够正则性与固定符号涡度的初始数据，弱欧拉-α与BR-α公式是否等价？
• RQ5 在BR-α模型下，防止涡量片演化中奇点形成的正则性阈值是什么？

主要发现

• 当初始涡度为固定符号的有限雷多恩测度时，欧拉-α方程的解在α → 0时收敛于二维欧拉方程的弱解。
• 若初始涡量片为利普希茨连续且满足弦弧条件，则BR-α解对所有时间保持利普希茨连续，且利普希茨常数有统一有界。
• 若初始涡量片属于C^{1,β}（0 ≤ β < 1）且满足弦弧条件，则BR-α解对所有时间保持在C^{1,β}中，且赫尔德范数有统一控制。
• 若初始涡量片属于C^{n,β}（n ≥ 1 且 0 < β < 1），且为闭合与弦弧条件，则BR-α解对所有时间保持在C^{n,β}中。
• 在上述正则性条件下，弱欧拉-α与BR-α对涡量片运动的描述是等价的。
• 正则化有效防止了曲率爆破，并避免了经典毕尔霍夫-罗特定律方程中出现的有限时间奇点形成。