[论文解读] Global regularity for solutions of the Navier-Stokes equation sufficiently close to being eigenfunctions of the Laplacian

Evan Miller|arXiv (Cornell University)|May 28, 2020

Navier-Stokes equation solutions参考文献 28被引用 3

一句话总结

本文通过证明若解在齐次Sobolev插值不等式中的偏差足够小，则解在全局范围内保持正则性，从而为三维Navier-Stokes方程建立了新的尺度临界正则性准则。关键结果是一个涉及加权$ \dot{H}^\alpha$范数的爆破准则，该范数以谱偏差$1 - \|u\|_{\dot{H}^{\alpha-1}}^4 / (\|u\|_{\dot{H}^{\alpha-2}} \|u\|_{\dot{H}^\alpha})$加权，若该加权范数在爆破时刻的积分发散，则可排除有限时间爆破。

ABSTRACT

In this paper, we will prove a new, scale critical regularity criterion for solutions of the Navier--Stokes equation that are sufficiently close to being eigenfunctions of the Laplacian. This estimate improves previous regularity criteria requiring control on the $\dot{H}^\alpha$ norm of $u,$ with $2\leq \alpha<\frac{5}{2},$ to a regularity criterion requiring control on the $\dot{H}^\alpha$ norm multiplied by the deficit in the interpolation inequality for the embedding of $\dot{H}^{\alpha-2}\cap\dot{H}^{\alpha} \hookrightarrow \dot{H}^{\alpha-1}.$ This regularity criterion suggests, at least heuristically, the possibility of some relationship between potential blowup solutions of the Navier--Stokes equation and the Kolmogorov-Obhukov spectrum in the theory of turbulence.

研究动机与目标

• 建立一个基于解与Laplacian特征函数接近程度的新的尺度临界正则性准则。
• 通过引入量化解与Laplacian特征函数接近程度的谱偏差项，改进现有的Ladyzhenskaya-Prodi-Serrin型准则。
• 证明若解的$ \dot{H}^\alpha$范数经谱偏差加权后的积分在爆破时刻发散，则可排除有限时间爆破。
• 通过解的谱结构将解的正则性与湍流理论中的Kolmogorov-Obhukov能量谱联系起来。

提出的方法

• 通过定义$\dot{H}^\alpha$范数加权的正则性准则，其中权重为插值不等式$\|f\|_{\dot{H}^{\alpha-1}}^2 \leq \|f\|_{\dot{H}^{\alpha-2}} \|f\|_{\dot{H}^\alpha}$中的偏差。
• 利用温和解形式与热半群，推导出梯度$L^2$范数的能量型不等式。
• 应用Hölder不等式与谱支集条件（傅里叶空间中的环形区域），以控制偏差项并将其与$\dot{H}^\alpha$范数关联。
• 证明插值不等式中的最佳常数为1，且仅当函数为Laplacian特征函数时等号成立；由于在$\mathbb{R}^3$上$\dot{H}^{\alpha-2} \cap \dot{H}^\alpha$中不存在非平凡的Laplacian特征函数，因此偏差恒为正。
• 利用傅里叶支集条件$\operatorname{supp} \hat{u} \subset \{ \xi : R_1(t) \leq |\xi| \leq R_2(t) \}$，推导出谱偏差的下界$1 - R_1^4 / R_2^4$，从而量化频带的狭窄程度。
• 建立爆破准则：若$\int_0^{T_{\max}} \|u\|_{\dot{H}^\alpha}^p (1 - R_1^4 / R_2^4)^{p/2} dt = +\infty$，则$T_{\max} = +\infty$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否基于解与Laplacian特征函数的接近程度，为Navier-Stokes方程建立正则性准则？
• RQ2 插值不等式$\|f\|_{\dot{H}^{\alpha-1}}^2 \leq \|f\|_{\dot{H}^{\alpha-2}} \|f\|_{\dot{H}^\alpha}$中的谱偏差是否能作为与特征函数接近程度的有意义度量，并改进现有正则性准则？
• RQ3 若解的$\dot{H}^\alpha$范数经谱偏差加权后其积分在爆破时刻发散，是否可排除有限时间爆破？
• RQ4 解的谱集中度（如环形傅里叶支集）与Navier-Stokes方程中爆破可能性之间存在何种关系？
• RQ5 该新准则能否与湍流理论中的Kolmogorov-Obhukov能量谱建立联系？

主要发现

• 本文证明了新的正则性准则：若对满足$2/p + 3/q = 3$的$p, q$，有$\int_0^{T_{\max}} \| -\Delta u - \lambda u \|_{L^q}^p dt = +\infty$，则$T_{\max} = +\infty$，该准则为尺度临界，且度量了解与Laplacian特征函数的接近程度。
• 在$L^2$情形下，准则简化为：若$\int_0^{T_{\max}} \| -\Delta u \|_{L^2}^{4/3} \left(1 - \frac{\|\nabla u\|_{L^2}^4}{\|u\|_{L^2}^2 \| -\Delta u \|^2_{L^2}} \right)^{2/3} dt = +\infty$，则爆破不会发生。
• 当傅里叶变换支集位于环形区域$R_1 \leq |\xi| \leq R_2$时，谱偏差项$1 - \|u\|_{\dot{H}^{\alpha-1}}^4 / (\|u\|_{\dot{H}^{\alpha-2}} \|u\|_{\dot{H}^\alpha})$被下界$1 - R_1^4 / R_2^4$控制，从而提供了谱集中度的定量度量。
• 插值不等式$\|f\|_{\dot{H}^{\alpha-1}}^2 \leq \|f\|_{\dot{H}^{\alpha-2}} \|f\|_{\dot{H}^\alpha}$中的最佳常数为1，且在$\mathbb{R}^3$上无法取等，因为$\dot{H}^{\alpha-2} \cap \dot{H}^\alpha$中不存在非平凡的Laplacian特征函数，因此偏差恒为正。
• 若解在傅里叶空间中集中在频带$R_1(t)/R_2(t) \to 1$的速度过快，即使$R_2(t) \to \infty$，只要$\|u\|_{\dot{H}^\alpha}$的增长不快于该速度，即可排除有限时间爆破。
• 本文提出一个启发式联系：潜在的Navier-Stokes方程爆破可能与Kolmogorov-Obhukov能量谱相关，因为谱偏差项可能反映湍流中的能量级联过程。