[论文解读] Global return maps for mixed-mode oscillations with one fast and two slow variables

Christian Kuehn|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2010

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation参考文献 36被引用 4

一句话总结

本文提出一种全局返回映射框架，用于解释具有一个快变量和两个慢变量的混合模式振荡（MMOs）中的大振幅振荡，以Koper模型为原型。通过分解全局映射并结合局部规范型，作者构建了仿射和二次模型，能够高效地模拟和分析复杂的MMO模式。

ABSTRACT

Alternating patterns of small and large amplitude oscillations occur in a wide variety of physical, chemical, biological and engineering systems. These mixed-mode oscillations (MMOs) are often found in systems with multiple time scales. Previous differential equation modeling and analysis of MMOs has mainly focused on local mechanisms to explain the small oscillations. The goal of this paper is to provide a systematic starting point for the study of global return maps that generate the large oscillations. This paper contributes to the understanding of global return maps in the following ways: (a) We provide a detailed numerical study of the singular return maps for the Koper model which is a prototypical example for MMOs that also relates to local normal form theory, (b) we decompose the global return map to provide first steps towards towards analytical proofs of complicated MMO patterns, (c) we develop affine and quadratic return map models based on the previous analysis and (d) we demonstrate how to combine the global map models with small oscillations generated by two types of local normal forms. We find that the local-global decomposition is an efficient way to model, simulate and analyze MMOs.

研究动机与目标

• 开发一种系统化方法，利用全局返回映射对MMOs中的大振幅振荡进行建模。
• 将Koper模型作为具有多时间尺度的MMO系统的典型示例，分析其奇异返回映射。
• 对全局返回映射进行分解，以实现对复杂MMO模式的解析处理。
• 基于Koper模型的数值分析，构建仿射和二次返回映射模型。
• 将全局返回映射模型与生成小振幅振荡的局部规范型相结合。

提出的方法

• 对Koper模型中的奇异返回映射进行数值分析，以表征大振幅振荡的动力学特性。
• 将全局返回映射分解为若干分量，以分离并分析与MMO模式相关的结构特征。
• 基于观测到的映射结构和数值数据，开发仿射和二次返回映射模型。
• 利用局部规范型理论，对由慢-快相互作用产生的小振幅振荡进行建模。
• 将全局返回映射模型与两种不同类型的局部规范型相结合，以模拟完整的MMO序列。
• 通过复杂MMO模式的仿真与定性分析，验证局部-全局分解方法的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地构建并分析具有一条快变量和两条慢变量的MMOs的全局返回映射？
• RQ2 Koper模型中全局返回映射的哪些结构特征解释了大振幅振荡的产生？
• RQ3 如何对全局返回映射进行分解，以实现对复杂MMO模式的解析处理？
• RQ4 仿射和二次返回映射模型在多大程度上能够捕捉Koper模型中MMOs的动力学特性？
• RQ5 如何有效结合全局返回映射模型与局部规范型，以模拟完整的MMO序列？

主要发现

• Koper模型的奇异返回映射呈现出一种结构化模式，可识别出控制大振幅振荡的关键特征。
• 对全局返回映射的分解揭示了模块化分量，简化了对复杂MMO序列的分析。
• 基于数值数据推导出的仿射和二次返回映射模型，能准确再现Koper模型中MMOs的定性行为。
• 将全局返回映射与两种类型的局部规范型相结合，成功生成了具有交替小振幅与大振幅的混合模式振荡模式。
• 局部-全局分解方法为慢-快动力系统中MMOs的建模、仿真与分析提供了一种高效且系统化的框架。