[论文解读] Global sensitivity analysis in the context of imprecise probabilities (p-boxes) using sparse polynomial chaos expansions

Roland Schöbi, Bruno Sudret|arXiv (Cornell University)|May 29, 2017

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 35被引用 5

一句话总结

本文提出了一种计算高效的全局敏感性分析方法，适用于不精确概率下的参数化p-box与稀疏多项式混沌展开（PCE）。通过引入带有虚点的增强型PCE模型，实现了低成本计算区间值（不精确）的Sobol’指标，以量化随机性与认知性不确定性。该方法在解析与工程实例中得到验证，仅需极少的模型评估次数——仅100次有限元计算即可实现高精度。

ABSTRACT

Global sensitivity analysis aims at determining which uncertain input parameters of a computational model primarily drives the variance of the output quantities of interest. Sobol' indices are now routinely applied in this context when the input parameters are modelled by classical probability theory using random variables. In many practical applications however, input parameters are affected by both aleatory and epistemic (so-called polymorphic) uncertainty, for which imprecise probability representations have become popular in the last decade. In this paper, we consider that the uncertain input parameters are modelled by parametric probability boxes (p-boxes). We propose interval-valued (so-called imprecise) Sobol' indices as an extension of their classical definition. An original algorithm based on the concepts of augmented space, isoprobabilistic transforms and sparse polynomial chaos expansions is devised to allow for the computation of these imprecise Sobol' indices at extremely low cost. In particular, phantoms points are introduced to build an experimental design in the augmented space (necessary for the calibration of the sparse PCE) which leads to a smart reuse of runs of the original computational model. The approach is illustrated on three analytical and engineering examples which allows one to validate the proposed algorithms against brute-force double-loop Monte Carlo simulation.

研究动机与目标

• 将经典Sobol’指标扩展至使用不精确概率处理混合随机性与认知性不确定性的场景。
• 解决在存在认知性不确定性时敏感性分析的高计算成本问题，特别是当模型计算代价高昂时。
• 开发一种基于代理模型的方法，实现无需重复模型评估的区间值Sobol’指标高效计算。
• 实现在输入不确定性由参数化p-box表征的工程场景中，全局敏感性分析的实际应用。

提出的方法

• 通过将经典Sobol’指标扩展至输入不确定性的p-box表示，形式化定义不精确Sobol’指标为区间值度量。
• 构建一个增强输入空间，将原始输入变量与定义p-box的认知性参数相结合，使维度从M提升至M_aug。
• 在增强空间上构建稀疏多项式混沌展开（PCE），采用最小实验设计，结合等概率变换与虚点策略以提升精度。
• 利用增强PCE的系数，通过优化方法解析计算一阶Sobol’指标的边界，避免额外的模型评估。
• 引入“虚点”——增强空间中的人工样本，复用现有模型计算结果，在不增加原始模拟次数的前提下提升PCE精度。
• 使用遗传算法计算Sobol’指标边界，并与暴力蒙特卡罗模拟结果进行对比，以验证方法有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将经典Sobol’指标推广至由参数化p-box表示的不精确概率？
• RQ2 在不需双循环蒙特卡罗模拟的前提下，计算区间值Sobol’指标的最高效方法是什么？
• RQ3 稀疏多项式混沌展开能否有效适配p-box参数的增强空间，以实现低成本敏感性分析？
• RQ4 虚点在不精确敏感性分析背景下如何提升代理模型的精度与效率？
• RQ5 在小样本实验设计（如N=100）下，其对真实工程问题中不精确Sobol’指标的可靠估计程度如何？

主要发现

• 所提方法仅通过100次有限元模型评估即可计算不精确Sobol’指标，相对泛化误差最低可达5.7×10⁻⁷。
• 当nph = 5个虚点时，一阶Sobol’指标的估计边界收敛至真实值，表明方法具有快速收敛性与高精度。
• 即使nph = 3，方法仍可实现8.4×10⁻⁴的相对泛化误差，该精度足以支持可靠的敏感性分析。
• 桁架结构示例中不精确Sobol’指标的对称性验证了方法的一致性，表明其正确处理了认知性不确定性。
• 虚点的使用显著提升了增强PCE模型的精度，且无需增加原始计算模型的评估次数。
• 该方法使真实工程问题（如桁架结构与单自由度振动系统）的高效全局敏感性分析成为可能，而传统蒙特卡罗方法在这些场景下计算成本过高。