[论文解读] Global smooth solutions to the nonisothermal compressible fluid models of Korteweg type with large initial data

Zhengzheng Chen, Lin He+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2015

Navier-Stokes equation solutions参考文献 24被引用 3

一句话总结

该论文在一般密度-和温度依赖的粘性、毛细力及热导率系数下，针对一维非等温可压缩Korteweg流体系统，建立了大初值下光滑非真空解的全局存在性及时间渐近行为。通过能量法、Kanel技巧与最大值原理，证明了在接近常数状态的初值下解的长时间存在性及趋于平衡态的衰减性，扩展了以往仅限于等温或小初值情形的研究结果。

ABSTRACT

The global solutions with large initial data for the isothermal compressible fluid models of Korteweg type has been studied by many authors in recent years. However, little is known of global large solutions to the nonisothermal compressible fluid models of Korteweg type up to now. This paper is devoted to this problem, and we are concerned with the global existence of smooth and non-vacuum solutions with large initial data to the Cauchy problem of the one-dimensional nonisothermal compressible fluid models of Korteweg type. The case when the viscosity coefficient $μ(ρ)=ρ^α$, the capillarity coefficient $κ(ρ)=ρ^β$, and the heat-conductivity coefficient $ ildeα(θ)=θ^λ$ for some parameters $α,β,λ\in \mathbb{R}$ is considered. Under some assumptions on $α,β$ and $λ$, we prove the global existence and time-asymptotic behavior of large solutions around constant states. The proofs are given by the elementary energy method combined with the technique developed by Y. Kanel' \cite{Y. Kanel} and the maximum principle.

研究动机与目标

• 为解决非等温可压缩Korteweg流体在全局大初值解方面研究的不足，此前研究多局限于等温或小初值情形。
• 在一维情形下，针对大初值的柯西问题，建立光滑非真空解的存在性。
• 在一般物理系数下，分析解在常数平衡态附近的长时间渐近行为。
• 将Korteweg型模型的应用范围扩展至非等温、大初值情形，包含真实且非线性的系数依赖关系。

提出的方法

• 采用具有密度依赖粘性 $\mu(\rho) = \rho^\alpha$、毛细力 $\kappa(\rho) = \rho^\beta$ 及温度依赖热导率 $\tilde{\alpha}(\theta) = \theta^\lambda$ 的Navier-Stokes-Korteweg系统。
• 结合初等能量法与Y. Kanel的技巧，控制非线性项并建立先验估计。
• 利用最大值原理控制温度并避免真空形成，确保解为非真空。
• 对密度、速度与温度相对于平衡态的扰动在 $L^2$ 与 $H^1$ 范数上建立先验有界性。
• 在Sobolev空间中进行能量估计，以控制高阶导数并保证解的正则性。
• 采用延拓论证，将局部解全局延拓至无穷时间。

实验结果

研究问题

• RQ1 非等温可压缩Korteweg系统在大初值下是否存在全局光滑非真空解？
• RQ2 粘性、毛细力及热导率系数的一般非线性依赖关系如何影响解的长时间行为？
• RQ3 指数 $\alpha$、$\beta$ 与 $\lambda$ 需满足何种条件，才能保证解的全局存在性及趋于平衡态？
• RQ4 最大值原理与Kanel技巧能否被适配以控制非等温情形下的温度并避免真空形成？
• RQ5 当初始数据较大但接近常数状态时，解的时间渐近行为如何？

主要发现

• 在一维情形下，若物理系数满足 $\mu(\rho) = \rho^\alpha$、$\kappa(\rho) = \rho^\beta$ 与 $\tilde{\alpha}(\theta) = \theta^\lambda$，且 $\alpha$、$\beta$、$\lambda$ 满足适当假设，则非等温Korteweg系统存在全局光滑解。
• 解在所有时间保持非真空，温度在 $\gamma-1$ 与初始扰动的适当小条件下，一致远离零与无穷大。
• $L^2$ 与 $H^1$ 范数的扰动量在时间上一致有界，衰减估计通过能量估计建立。
• 高阶导数（至 $H^3$ 阶）在 $L^2$ 及 $L^2$-时间范数下受控，确保了解的全局正则性。
• 当 $t \to \infty$ 时，解收敛至常数平衡态，衰减速率由能量衰减结构所隐含。
• 通过 $\gamma-1$ 与初始数据的适当小条件，完成先验假设的闭合，使得最大值原理可用于控制温度有界性。