[论文解读] Global solutions of two coupled Maxwell systems in the temporal gauge

Yuan Jian-jun|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2015

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文在时序规范下建立了两个耦合非线性麦克斯韦系统——麦克斯韦-克莱因-戈登系统和麦克斯韦-陈-西蒙斯-希格斯系统——有限能量解的全局存在性。通过利用规范不变性，并利用能量和 $L^2$ 范数控制空间规范势的 $ abla^{1}$ 范数，作者证明了在有限能量空间中初始数据的解可全局存在。

ABSTRACT

In this paper, we consider the Maxwell-Klein-Gordon and Maxwell-Chern-Simons-Higgs systems in the temporal gauge. By using the fact that when the spatial gauge potentials are in the Coulomb gauge, their $\dot{H}^1$ norms can be controlled by the energy of the corresponding system and their $L^2$ norms, and the gauge invariance of the systems, we show that finite energy solutions of these two systems exist globally in this gauge.

研究动机与目标

• 在时序规范下，建立麦克斯韦-克莱因-戈登系统和麦克斯韦-陈-西蒙斯-希格斯系统有限能量解的全局存在性。
• 通过利用规范不变性和能量估计，将之前在库仑规范下的结果推广到时序规范。
• 通过能量和 $L^2$ 范数控制空间规范势的 $ abla^{1}$ 范数，确保解的全局正则性。
• 在有限能量解的背景下，同时处理拓扑与非拓扑边界条件。

提出的方法

• 利用规范不变性，将库仑规范下的解转化为时序规范下的解。
• 应用能量守恒和对场 $A_i$、$ abla$ 和 $ abla$ 的 $L^2$ 估计，控制其增长。
• 使用不等式 $ abla^{1}$ 范数的控制。
• 利用索伯列夫嵌入和插值估计 $ abla^{1}$ 范数的控制。
• 使用时空 $X^{s,b}$ 范数证明在 $H^s \times H^{s-1}$ 中局部适定性，其中 $s \geq 1$。
• 结合能量估计与 $L^2$ 控制，将局部解延拓至有限能量空间中的全局解。

实验结果

研究问题

• RQ1 在时序规范下，麦克斯韦-克莱因-戈登系统和麦克斯韦-陈-西蒙斯-希格斯系统的有限能量解能否全局存在？
• RQ2 在时序规范下，如何仅通过能量和 $L^2$ 范数控制空间规范势的 $ abla^{1}$ 范数？
• RQ3 规范不变性在将库仑规范下的全局存在性结果转移到时序规范下起到什么作用？
• RQ4 非拓扑与拓扑边界条件如何影响有限能量空间中解的全局存在性？
• RQ5 确保这些耦合麦克斯韦系统全局存在的最小正则性要求是什么？

主要发现

• 在时序规范下，麦克斯韦-克莱因-戈登系统存在全局有限能量解，扩展了此前在库仑规范下的结果。
• 在时序规范下，无论非拓扑还是拓扑边界条件，麦克斯韦-陈-西蒙斯-希格斯系统均建立了全局解。
• 空间规范势的 $ abla^{1}$ 范数通过场的能量和 $L^2$ 范数得到控制，从而通过先验估计实现全局存在性。
• 通过 $X^{s,b}$ 空间技术证明了在 $H^s \times H^{s-1}$ 中的局部适定性，其中 $s \geq 1$，解属于 $C([-T,T]; H^s)$，$T$ 依赖于初始数据。
• $A_i$、$ abla$ 和 $ abla$ 的 $L^2$ 范数在时间上一致有界，其界由 $E(0)$ 和 $T$ 的函数决定，确保无爆破。
• 证明依赖于能量守恒和插值不等式，以 $ abla^{1}$ 范数的控制，完成bootstrap论证。