[论文解读] Global solutions of two dimensional incompressible viscoelastic flows with discontinuous initial data

Xianpeng Hu, Fanghua Lin|arXiv (Cornell University)|Dec 24, 2013

Navier-Stokes equation solutions参考文献 11被引用 4

一句话总结

该论文在初始形变梯度在 $L^2 \cap L^\infty$ 范数下接近单位阵、且初始速度在 $L^2$ 中较小并在 $L^p$ 中有界（$p>2$）的条件下，建立了二维不可压缩粘弹性流体的弱解全局存在性，即使初始数据存在不连续性。其关键创新在于证明了有效粘性通量的正则性，从而实现了对形变梯度的逐点估计，而无需依赖速度梯度的 $L^\infty$ 有界性。

ABSTRACT

The global existence of weak solutions of the incompressible viscoelastic flows in two spatial dimensions has been a long standing open problem, and it is studied in this paper. We show the global existence if the initial deformation gradient is close to the identity matrix in $L^2\cap L^\infty$, and the initial velocity is small in $L^2$ and bounded in $L^p$, for some $p>2$. While the assumption on the initial deformation gradient is automatically satisfied for the classical Oldroyd-B model, the additional assumption on the initial velocity being bounded in $L^p$ for some $p>2$ may due to techniques we employed. The smallness assumption on the $L^2$ norm of the initial velocity is, however, natural for the global well-posedness . One of the key observations in the paper is that the velocity and the extquotedblleft effective viscous flux extquotedblright $\mathcal{G}$ are sufficiently regular for positive time. The regularity of $\mathcal{G}$ leads to a new approach for the pointwise estimate for the deformation gradient without using $L^\infty$ bounds on the velocity gradients in spatial variables.

研究动机与目标

• 解决二维不可压缩粘弹性流体弱解全局存在性的长期开放问题，初始数据具有不连续性。
• 在与能量定律一致的最小正则性假设下建立适定性，特别是针对形变梯度属于 $L^2$ 和 $L^\infty$ 的初始数据。
• 克服初始数据缺乏光滑性时经典方法的失效，特别是速度梯度 $L^\infty$ 有界性的缺失。
• 基于有效粘性通量的正则性，发展一种新的分析框架，以在缺乏经典 $L^\infty$ 控制的条件下控制形变梯度。

提出的方法

• 引入有效粘性通量 $\mathcal{G}$ 作为分析速度与形变梯度正则性的关键量。
• 采用伽辽金逼近方法构造满足弱意义下粘弹性系统的一组近似解 $({\bf u}^n, {\mathtt{F}}^n)$。
• 利用能量估计和 Oldroyd-B 模型的结构，建立形变梯度与速度在 $L^2$ 和 $L^\infty$ 中的统一有界性。
• 通过凸性与弱收敛性，证明 $({\mathtt{F}}^n - I)$ 在 $L^2$ 中强收敛，确保极限解保持约束 $\det{\mathtt{F}} = 1$ 与 $\partial_{x_l} {\mathtt{F}}_{ij} = \partial_{x_l} {\mathtt{F}}_{ik}$。
• 采用矩阵分解技术，将 $\nabla{\bf u} + (\nabla{\bf u})^\top = \mathcal{S}\mathcal{S}^\top$ 表示，从而在能量估计中控制二次项。
• 利用 $\mathtt{F}^n$ 的强收敛性与应力张量的结构，完成极限过程，验证弱解在分布意义下满足系统方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 当初始形变梯度在 $L^2 \cap L^\infty$ 中有界但不连续时，能否构造出二维不可压缩粘弹性流体的全局弱解？
• RQ2 若速度梯度缺乏 $L^\infty$ 有界性，是否会导致全局解无法构造？若如此，能否通过其他途径克服？
• RQ3 有效粘性通量 $\mathcal{G}$ 是否可作为正则化机制，以在不依赖速度梯度 $L^\infty$ 有界性的前提下控制形变梯度？
• RQ4 在近似解弱收敛的条件下，能否保持结构约束 $\det{\mathtt{F}} = 1$ 与相容性条件 $\mathtt{F}_{lk}\partial_{x_l}\mathtt{F}_{ij} = \mathtt{F}_{lj}\partial_{x_l}\mathtt{F}_{ik}$？
• RQ5 为确保二维 Oldroyd-B 模型弱解的全局适定性，初始速度的最小正则性要求是什么？

主要发现

• 若初始形变梯度在 $L^2 \cap L^\infty$ 中接近单位阵，且初始速度在 $L^2$ 中较小并在 $L^p$ 中有界（$p > 2$），则二维不可压缩粘弹性系统存在全局弱解。
• 证明了正则性足够的有效粘性通量 $\mathcal{G}$ 在正时间成立，从而提出一种新方法，实现对形变梯度的逐点估计，而无需依赖速度梯度的 $L^\infty$ 有界性。
• 在几乎处处 $t > 0$ 的时间点上，$\mathtt{F}^n - I$ 在 $L^2$ 中强收敛，确保极限解保持结构约束 $\det{\mathtt{F}} = 1$ 与相容性条件 $\mathtt{F}_{lk}\partial_{x_l}\mathtt{F}_{ij} = \mathtt{F}_{lj}\partial_{x_l}\mathtt{F}_{ik}$。
• 能量定律在极限下保持不变，即 $\frac{1}{2}\|{\bf u}(t)\|_{L^2}^2 + \frac{1}{2}\|{\mathtt{F}}(t)\|_{L^2}^2 + \mu \int_0^t \|\nabla{\bf u}(s)\|_{L^2}^2 ds = \frac{1}{2}\|{\bf u}_0\|_{L^2}^2 + \frac{1}{2}\|{\mathtt{F}}_0\|_{L^2}^2$，确认能量耗散。
• 初始速度在 $L^2$ 中的“小”性是全局适定性的关键，而额外的 $L^p$ 有界性（$p > 2$）是方法上的技术性要求，而非根本性障碍。
• 该结果首次实现了经典 Oldroyd-B 模型在二维中具有不连续初始数据的弱解全局存在性，填补了粘弹性流体理论中的关键空白。