[论文解读] Global solutions to 2-d inhomogeneous navier-stokes system with general velocity

Jingchi Huang, Marius Paicu+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2012

Navier-Stokes equation solutions参考文献 13被引用 3

一句话总结

本文在临界 Besov 空间框架下，针对初始密度涨落相对于初始速度呈二重指数小的条件下，建立了变粘性 2D 非齐次 Navier-Stokes 方程的全局适定性。证明了在初始密度为分段常数且界面跳跃较小时，即使不假设初始速度小，也能获得全局存在性，从而去除了先前结果中对初始速度小的限制。

ABSTRACT

In this paper, we are concerned with the global wellposedness of 2-D density-dependent incompressible Navier-Stokes equations with variable viscosity, in a critical functional frame- work which is invariant by the scaling of the equations and under a non-linear smallness condition on fluctuation of the initial density which has to be doubly exponential small compared with the size of the initial velocity. In the second part of the paper, we apply our methods combined with the techniques of R. Danchin and P. B. Mucha to prove the global existence of solutions to inhomogeneous Navier-Stokes system with piecewise constant initial density which has small jump at the interface and is away from vacuum. In particular, this latter result removes the smallness condition for the initial velocity in a corresponding theorem of R. Danchin and P. B. Mucha.

研究动机与目标

• 在尺度不变的临界函数框架下，解决 2D 非齐次 Navier-Stokes 方程在变粘性条件下的全局适定性问题。
• 通过去除对初始速度小的假设，克服先前结果中必须要求初始速度小的局限性，适用于界面跳跃较小的分段常数初始密度情形。
• 在初始密度涨落满足非线性小性条件下，提供全局存在性结果，该条件要求密度涨落相对于初始速度大小为二重指数小。
• 将理论适用范围扩展至涉及具有不同密度的不相溶流体、界面跳跃较小的物理情景。

提出的方法

• 采用在方程尺度变换下不变的 Besov 空间为基础的临界函数框架。
• 利用 Littlewood-Paley 理论与拟积估计控制 Navier-Stokes 系统中的非线性项。
• 引入一种改进的公式化方法，通过密度涨落 $ a = ho - 1 $ 与粘性偏差 $ ilde{ u}(a) - u $，将系统转化为扰动形式。
• 在各向异性的 Besov 空间中应用能量估计与 Gronwall 型不等式，以控制解随时间的增长。
• 在精心选取的函数空间中使用不动点方法建立局部存在性，然后通过反证法假设存在有限最大存在时间，将之推广至全局。
• 结合 [10] 中的技术，并引入对密度与粘性的新估计，以处理分段常数初始密度的情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 在不假设初始速度小的条件下，能否为 2D 非齐次 Navier-Stokes 系统在变粘性条件下构造全局解？
• RQ2 在临界空间中，确保全局适定性的初始密度涨落最优小性条件是什么？
• RQ3 在初始密度为分段常数且界面跳跃较小时，能否去除对初始速度小的假设？
• RQ4 在非齐次 Navier-Stokes 动力学下，初始密度界面的正则性如何随时间传播？
• RQ5 粘性函数 $ ilde{ u}(a) $ 在初始速度较大的情况下，对系统稳定性的作用是什么？

主要发现

• 在临界 Besov 框架下，对于具有变粘性的 2D 非齐次 Navier-Stokes 系统，当初始密度涨落相对于初始速度大小为二重指数小时，建立了全局适定性。
• 对于初始密度为分段常数且界面跳跃较小的情形，即使不假设初始速度小，解也能全局存在，从而去除了早期结果中的关键限制。
• 证明依赖于在 Besov 空间中的精细能量估计，该估计通过含初始数据大小二重指数因子的 Gronwall 型不等式控制了解的增长。
• 通过反证法证明最大存在时间 $ au^* $ 为无穷大，假设 $ au^* $ 有限将导致解范数的小性条件被违反。
• 该方法通过在 $ ilde{ u}(a) - u $ 与 $ a $ 变量中的扰动方法，成功处理了密度与速度场之间的非线性与耦合性。
• 该结果为 Lions 关于密度块解中边界正则性传播的开放问题提供了部分解答。