[论文解读] Global solvability and stability to a nutrient-taxis model with porous medium slow diffusion

Chunhua Jin, Yifu Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2018

Mathematical Biology Tumor Growth参考文献 10被引用 6

一句话总结

该论文在多种生物学上合理的条件下，建立了三维营养物趋化模型中具有非渗流介质扩散（$m > \frac{11}{4} - \sqrt{3} \approx 1.018$）的弱解的全局存在性与有界性。此外，论文证明了解在长时间尺度下的稳定性，并将结果扩展至趋化-斯托克斯系统，填补了 $m \in (\frac{11}{4}-\sqrt{3}, \frac{9}{8})$ 范围内的空白。

ABSTRACT

In this paper, we study a nutrient-taxis model with porous medium slow diffusion \begin{align*} \left\{ \begin{aligned} &u_t=Δu^m-χ abla\cdot(u abla v)+ξuv-ρu, \\ &v_t-Δv=-vu+μv(1-v), \end{aligned} ight. \end{align*} in a bounded domain $Ω\subset \mathbb R^3$ with zero-flux boundary condition. It is shown that for any $m>\frac{11}4-\sqrt 3$,the problem admits a global weak solution for any large initial datum. We divide the study into three cases,(i) $ξμ=0, ρ\ge 0$; (ii) $ξμρ>0$; (iii) $ξμ>0$, $ρ=0$. In particular, for Case (i) and Case (ii), the global solutions are uniformly bounded. Subsequently, the large time behavior of these global bounded solutions are also discussed. At last, we also extend the results to the coupled chemotaxis-Stokes system. Important progresses for chemotaxis-Stokes system with $m>\frac 76$, $m>\frac 87$ and $m>\frac 98$ have been carried out respectively by \cite{W2, TW2, W3}, but leave a gap for $1

研究动机与目标

• 建立三维空间中具有非渗流介质扩散的营养物趋化模型弱解的全局存在性与有界性。
• 在不同生物学参数条件下分析全局解的长时间行为：(i) $\xi\mu=0$, $\rho\geq 0$；(ii) $\xi\mu\rho>0$；(iii) $\xi\mu>0$, $\rho=0$。
• 将结果扩展至耦合的趋化-斯托克斯系统，尤其填补了 $m \in (\frac{11}{4}-\sqrt{3}, \frac{9}{8})$ 范围内的空白。

提出的方法

• 分析在有界区域 $\Omega \subset \mathbb{R}^3$ 中满足零通量边界条件的系统 $u_t = \Delta u^m - \chi\nabla\cdot(u\nabla v) + \xi uv - \rho u$, $v_t - \Delta v = -vu + \mu v(1-v)$。
• 采用正则化逼近方案，引入参数 $\varepsilon > 0$，构造扰动系统下的经典解。
• 利用能量方法、最大正则性理论和 Moser 迭代技术，推导出关于 $\varepsilon$ 一致的估计。
• 通过插值与嵌入定理，建立 $n_\varepsilon$, $c_\varepsilon$, 和 $u_\varepsilon$ 的 $L^\infty$ 有界性。
• 应用紧致性论证，并取极限 $\varepsilon \to 0$，得到全局弱解。
• 利用 $L^r$ 和 $H^1$ 估计控制非线性项，确保解的一致有界性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于何种 $m > 1$ 的范围，具有非渗流介质扩散的营养物趋化模型对任意大初始数据均存在全局弱解？
• RQ2 在 $\xi$, $\mu$, 和 $\rho$ 的何种条件下，全局解在时间上保持一致有界？
• RQ3 在三种不同的生物学情形下，全局有界解的长时间行为如何？
• RQ4 能否将抛物-椭圆型营养物趋化模型的结果推广至趋化-斯托克斯系统？
• RQ5 该分析是否填补了目前已知的三维趋化-斯托克斯系统中全局解存在的 $m$ 值范围的空白？

主要发现

• 对于所有 $m > \frac{11}{4} - \sqrt{3} \approx 1.018$，即使初始数据任意大，全局弱解也存在。
• 当 $\xi\mu=0$, $\rho\geq 0$ 或 $\xi\mu\rho>0$ 时，解在时间上一致有界，确保不会发生爆破。
• 当 $\xi\mu>0$, $\rho=0$ 时，全局解存在，但不一定一致有界。
• 对有界解的长时间行为进行了分析，表明其收敛至空间均匀的平衡态。
• 结果可推广至趋化-斯托克斯系统，填补了 $m \in (\frac{11}{4}-\sqrt{3}, \frac{9}{8})$ 的空白。
• 独立于正则化参数 $\varepsilon$，建立了 $L^{r+1}$, $H^1$, 和 $W^{2,1}_p$ 空间中的一致估计。