[论文解读] Global stability for SIR and SIRS models with differential mortality

Philippe Adda, Derdeï Bichara|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2011

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 14被引用 7

一句话总结

本文通过李雅普诺夫函数方法，建立了具有差异性死亡率的SIR与SIRS流行病模型的全局稳定性。在总人口恒定（自然死亡率补偿出生率）的假设下，证明了当基本再生数 ℛ₀ ≤ 1 时，无病平衡点全局渐近稳定；当 ℛ₀ > 1 时，地方性平衡点全局渐近稳定。

ABSTRACT

We consider SIR and SIRS models with differential mortality. Global stability of equilibria is established by using Lyapunov's method

研究动机与目标

• 分析具有不同组间死亡率的SIR与SIRS模型的全局稳定性。
• 通过引入差异性死亡率，将现有全局稳定性结果从死亡率相等的模型推广至更一般情形。
• 建立无病平衡点（DFE）或地方性平衡点（EE）全局渐近稳定的条件。
• 利用李雅普诺夫函数严格证明稳定性，避免依赖相平面方法或Poincaré-Bendixson定理的论证。
• 通过允许不同的死亡率和更符合生物学现实的结构，推广Korobeinikov等人先前的结果。

提出的方法

• 以比例（S, I）形式构建二维SIR模型，由于出生率补偿死亡率，总人口N保持恒定。
• 施加条件 Λ = μ₁S + μ₂I + μ₃R 以确保总人口恒定，其中 Λ 为出生率，μᵢ 为各组分的特定死亡率。
• 采用形如 V = ∑aᵢ(xᵢ − x̄ᵢ log xᵢ) 的李雅普诺夫函数进行稳定性分析，该形式受Volterra启发并应用于流行病模型。
• 沿轨迹推导 Ẇ 的时间导数，并证明其为负半定，应用LaSalle不变性原理以证明吸引性。
• 分析 Ẇ = 0 的集合，并证明其仅退化为地方性平衡点，从而通过LaSalle不变性原理确认全局渐近稳定性。
• 通过引入免疫衰减率 ν，将相同方法适配至SIRS模型，将恢复组中的 μ₃ 替换为 μ₃ + ν。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有差异性死亡率的SIR模型中，无病平衡点在何种条件下全局稳定？
• RQ2 当死亡率不等时，能否在 ℛ₀ > 1 的条件下建立地方性平衡点的全局稳定性？
• RQ3 使用含对数项的李雅普诺夫函数如何改进具有可变死亡率的SIR/SIRS系统的分析？
• RQ4 人口规模恒定在何种程度上使即使存在差异性死亡率，也能实现全局稳定性分析？
• RQ5 在SIRS模型中引入免疫衰减率 ν 后，对地方性平衡点的稳定性有何影响？

主要发现

• 当 ℛ₀ ≤ 1 时，无病平衡点 (S*, I*) = (1, 0) 全局渐近稳定。
• 当 ℛ₀ > 1 时，存在唯一的地方性平衡点 (S̄, Ī)，且在定义域内部全局渐近稳定。
• 李雅普诺夫函数 V(S, I) 正定，其导数 Ẇ 负半定，且 Ẇ = 0 仅在地方性平衡点处成立。
• 使 Ẇ = 0 的最大不变集即为地方性平衡点本身，通过LaSalle不变性原理确认其吸引性。
• 地方性平衡点在全定义域 Ω 上（除无病平衡点的稳定流形外）全局渐近稳定。
• 通过将 μ₃ 替换为 μ₃ + ν，将含免疫衰减（ν > 0）的SIRS模型转化为与SIR模型相同形式，从而保持稳定性结果不变。