[论文解读] Global stability of almost periodic solutions of monotone sweeping processes and their response to non-monotone perturbations

Mikhail Kamenskiĭ, Oleg Makarenkov+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2017

Control and Stability of Dynamical Systems参考文献 41被引用 13

一句话总结

本文建立了单调扫掠过程在几乎周期性时变约束与扰动下的几乎周期解的全局指数稳定性。此外，还证明了此类解在一大类非单调扰动下依然保持稳定，将稳定性理论扩展至非光滑、非周期性系统，适用于弹塑性力学与电路系统。

ABSTRACT

We develop a theory which allows making qualitative conclusions about the dynamics of both monotone and non-monotone Moreau sweeping processes. Specifically, we first prove that any sweeping processes with almost periodic monotone right-hand-sides admits a globally exponentially stable almost periodic solution. And then we describe the extent to which such a globally stable solution persists under non-monotone perturbations.

研究动机与目标

• 开发具有时变、几乎周期性约束与扰动的扫掠过程的稳定性理论。
• 在扰动满足单调性条件下，建立几乎周期解的存在性与全局指数稳定性。
• 分析稳定性在非单调扰动下的保持性，将结果扩展至经典单调微分包含之外的系统。
• 提供适用于具有不可公度周期的系统（如弹塑性网络与电力电子系统）的理论框架。

提出的方法

• 证明了在一致有界Lipschitz约束与扰动下，扫掠过程在 ℝ 上全局解的存在性，无需要求单调性。
• 通过 f(t,x) 的单调性条件导出微分不等式，建立解的增量稳定性与唯一性。
• 应用Gronwall-Bellman引理，推导解差的指数衰减，确保全局指数稳定性。
• 利用 C(t) 与 f(t,x) 的几乎周期性，在单调性条件下证明唯一几乎周期解的存在性。
• 采用微分包含与平均化理论的技术，分析非单调扰动下的鲁棒性。
• 运用紧致性论证与 ℝ 上解的收敛性，建立长期稳定性性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有几乎周期性单调右端项的扫掠过程是否 admits 唯一的全局指数稳定几乎周期解？
• RQ2 此类解在非单调扰动下的稳定性行为如何？
• RQ3 该理论能否处理约束与扰动函数具有不可公度周期的系统？
• RQ4 在放松单调性条件时，何种条件可确保稳定性的保持？
• RQ5 该结果能否推广至状态依赖的凸约束或更复杂的动力系统？

主要发现

• 任何具有几乎周期性单调右端项的扫掠过程均 admits 唯一的、全局指数稳定的几乎周期解。
• 该解的稳定性在一大类非单调扰动下依然保持，确保了在实际应用中的鲁棒性。
• 解差的指数衰减速率由单调性常数 α 量化，满足 ‖x₁(t)−x₂(t)‖² ≤ e⁻²α(t−t₀)‖x₁(t₀)−x₂(t₀)‖²。
• 该理论适用于约束 C(t) 与扰动 f(t,x) 具有不同的、不可公度周期的系统，无需共同周期。
• 证明依赖于Gronwall-Bellman引理在具有不连续右端项的微分包含中的新颖应用。
• 该结果将现有关于平衡点的稳定性结果推广至非光滑、非自治系统中的几乎周期解。