[论文解读] Global Strong and Weak Solutions to Nematic Liquid Crystal Flow in Two Dimensions

Jinkai Li|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2012

Navier-Stokes equation solutions参考文献 10被引用 9

一句话总结

该论文在二维情形下建立了非齐次不可压缩向列型液晶方程强解与弱解的全局存在性。通过域扩张方法及在初始取向场满足几何约束下的能量估计，证明了当初始密度远离真空且初始数据光滑时，强解全局存在；对于非负初始密度（包括真空情形），则通过紧致性论证获得弱解。

ABSTRACT

We consider the strong and weak solutions to the Cauchy problem of the inhomogeneous incompressible nematic liquid crystal equations in two dimensions. We first establish the local existence and uniqueness of strong solutions by using the standard domain expanding method, and then extend such local strong solution to be a global one, provided the initial density is away from vacuum and the initial direction field satisfies some geometric structure. The size of the initial data can be large. Based on such global existence results of strong solutions, by using compactness argument, we obtain the global existence of weak solutions with nonnegative initial density.

研究动机与目标

• 建立二维非齐次不可压缩向列型液晶方程柯西问题强解的全局存在性。
• 在初始取向场满足几何约束且初始密度为正的条件下，将局部强解延拓为全局解。
• 通过紧致性论证，获得初始数据可能含真空时的全局弱解。
• 分析取向方程中超临界非线性项 $|\nabla d|^2 d$ 的系统行为。
• 为非齐次情形下解的存在性提供严格框架，拓展了已有齐次情形的结果。

提出的方法

• 应用标准的域扩张方法，在 $\mathbb{R}^2$ 上构造柯西问题的局部强解。
• 采用能量估计与加加尔多-利尔尼尔伯格不等式，控制高阶范数与一致有界性。
• 利用初始取向场 $d_0$ 的几何结构，控制方程中非线性项 $|\nabla d|^2 d$。
• 通过弱收敛与强收敛的紧致性论证，实现逼近序列的极限取法。
• 通过建立 $\sqrt{\rho}u$、$\nabla d$ 与 $\nabla u$ 的一致有界性，确保近似解的收敛性。
• 利用利雅赞德日不等式与 $L^p$ 型估计，控制 $L^{4/3}$ 与 $L^2$ 空间中的非线性项。

实验结果

研究问题

• RQ1 当初始密度远离真空时，能否为二维非齐次向列型液晶方程构造全局强解？
• RQ2 初始取向场 $d_0$ 需满足何种几何条件，才能保证强解的全局存在性？
• RQ3 能否通过紧致性方法获得含真空初始数据的弱解？
• RQ4 能量估计与索博列夫嵌入如何控制取向方程中非线性项 $|\nabla d|^2 d$ 的超临界性？
• RQ5 初始数据的大小在全局解存在性中起何作用，特别是在非齐次情形下？

主要发现

• 若初始密度远离真空且初始取向场满足几何结构条件，则二维非齐次向列型液晶方程存在全局强解。
• 初始数据的大小可任意大，因结果不依赖于小初值假设。
• 通过能量估计，建立了 $\|\sqrt{\rho}u\|_{L^\infty(0,T;L^2)}$、$\|\nabla d\|_{L^\infty(0,T;L^2)}$ 与 $\|\nabla u\|_{L^2(0,T;L^2)}$ 的一致有界性。
• 通过加加尔多-利尔尼尔伯格不等式与利雅赞德日不等式，实现了 $\nabla d$ 的 $L^4$-范数与 $u$ 的 $L^2$-范数在时间上的统一控制。
• 对于非负初始密度（即使含真空），通过紧致性与弱收敛论证，可获得全局弱解。
• 极限 $(\rho, u, d)$ 几乎处处满足系统 (1.1)–(1.5) 的弱形式，且 $\sqrt{\rho^j}u^j$ 在 $L^p(0,T;L^r_{\text{loc}})$ 中收敛于 $\sqrt{\rho}u$，其中 $2 < p < \infty$，$1 \leq r \leq 4p/(2p-4)$。