[论文解读] Global Strong Solution for Large Data to the Hyperbolic Navier-Stokes Equation

Alexander Schöwe|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2014

Navier-Stokes equation solutions参考文献 6被引用 7

一句话总结

本文在 $[2$ 维及特殊 $[3$ 维情形下，通过利用来自阻尼波动方程理论的 $[$-无关衰减估计，建立了大初值下双曲型纳维-斯托克斯方程的全局强解的存在性。关键贡献在于实现了关于 $[\to 0$ 的全局松弛极限，且该极限在时间上是一致的，表明在大初值条件下，双曲模型收敛于经典纳维-斯托克斯方程。

ABSTRACT

We consider a hyperbolic quasilinear fluid model, that arises from a delayed version for the constitutive law for the deformation tensor in the incompressible Navier-Stokes equation. We prove the existence of global strong solutions for large data including decay rates in $\mathbb{R}^2$ and in the three dimensional special cases known from the classical Navier-Stokes equation. As a corollary we can derive from [Sch12] a global relaxation limit $τ o 0$ uniform in time. Furthermore we give an improved version of the regularity criterion of [FO12].

研究动机与目标

• 解决双曲型纳维-斯托克斯模型在 $[2$ 维及特殊 3D 情形下大初值全局适定性的开放问题。
• 建立一个在时间上一致的全局松弛极限 $[\to 0$，将双曲模型与经典纳维-斯托克斯方程联系起来。
• 在 [FO12] 的结果基础上，改进双曲型纳维-斯托克斯系统的正则性准则。
• 推导出 $[$-无关的小初值条件，以实现从初值小到初值大的扩展。

提出的方法

• 通过为阻尼波动方程解导出 $[$-无关的衰减估计，将 [RS12b] 中的小初值全局存在性框架加以适配。
• 使用包含 $\tau^2\|\nabla^\alpha u_t\|_2^2$、$\tau\mu\|\nabla^\alpha \nabla u\|_2^2$ 和 $\|\nabla^\alpha u\|_2^2$ 的修正能量泛函 $E_m(t)$ 进行能量估计，以控制高阶导数。
• 应用克赖纳曼与庞斯的方法，通过验证与 $\tau$ 无关的小初值条件，将局部解迭代为全局解。
• 利用阻尼波动方程的 $L^p$-$L^q$ 估计，以 $\tau$-无关的衰减速率控制 $\|\nabla^\alpha \partial_t^j v(t,\cdot)\|_q$。
• 通过分析 $u_t$ 的表示公式 (31)，推导出一个改进的正则性准则，将条件从 $u, \nabla u, u_t \in L^1((0,T), \dot{B}^{0}_{\infty,\infty})$ 改进为涉及 $\operatorname{rot}u \in L^1((0,T), \dot{B}^{0}_{\infty,\infty})$ 的条件。
• 通过 $\|u^\tau(t) - v(t)\|_{m+2,2} \leq c\tau$ 和 $\|u^\tau_t(t) - v_t(t)\|_{m+1,2} \leq c\sqrt{\tau}$ 对所有 $t \in [0,\infty)$ 成立，建立双曲解 $u^\tau$ 到经典纳维-斯托克斯解 $v$ 的一致收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathbb{R}^2$ 及特殊 3D 情形下，双曲型纳维-斯托克斯方程是否能对大初值建立全局强解？
• RQ2 双曲型纳维-斯托克斯模型是否在时间上具有一致的全局松弛极限 $\tau \to 0$，即使在大初值条件下？
• RQ3 双曲型纳维-斯托克斯系统的正则性准则能否在 [FO12] 的结果基础上进一步改进？
• RQ4 能否推导出 $\tau$-无关的小初值条件，以实现从初值小到初值大的扩展？
• RQ5 当 $\tau$ 较小时，双曲模型解的衰减速率是否在 $\tau$ 上保持一致，从而实现与经典纳维-斯托克斯解的一致收敛？

主要发现

• 在 $\mathbb{R}^2$ 及双曲型纳维-斯托克斯方程的特殊 3D 情形下，对大初值存在全局强解，且具有与 $\tau$ 无关的显式衰减速率。
• 正则性准则得到改进，仅需 $\operatorname{rot}u \in L^1((0,T), \dot{B}^{0}_{\infty,\infty})$ 即可实现全局延拓，该条件弱于 [FO12] 中的条件。
• 建立了在时间上一致的全局松弛极限 $\tau \to 0$，满足 $\|u^\tau(t) - v(t)\|_{m+2,2} \leq c\tau$ 和 $\|u^\tau_t(t) - v_t(t)\|_{m+1,2} \leq c\sqrt{\tau}$ 对所有 $t \in [0,\infty)$ 成立。
• 该解框架依赖于来自 [Mat76] 的阻尼波动方程的 $\tau$-无关衰减估计，这些估计被用于验证全局存在性所需的小初值条件。
• 通过证明当 $\tau$ 较小时，解的初始衰减行为类似于经典纳维-斯托克斯解，从而实现从初值小到初值大的全局存在性扩展。
• 一致收敛结果优于先前工作 [PR07, Hac12, BNP03]，提供了对所有时间 $t \in [0,\infty)$ 有效的估计，而不仅限于局部时间。