[论文解读] Global strong solutions of the full Navier--Stokes and Q-tensor system for nematic liquid crystal flows in 2D: Existence and long-time behavior

Cecilia Cavaterra, Elisabetta Rocca+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2015

Navier-Stokes equation solutions参考文献 35被引用 1

一句话总结

本文建立了全二维不可压缩的纳维-斯托克斯与Q-张量系统在无小参数ξ假设下全局强解的存在性与唯一性。解在时间上一致有界，且渐近极限唯一确定，并给出了显式的收敛速率估计。

ABSTRACT

We consider a full Navier-Stokes and $Q$-tensor system for incompressible liquid crystal flows of nematic type. In the two dimensional periodic case, we prove the existence and uniqueness of global strong solutions that are uniformly bounded in time. This result is obtained without any smallness assumption on the physical parameter $\xi$ that measures the ratio between tumbling and aligning effects of a shear flow exerting over the liquid crystal directors. Moreover, we show the uniqueness of asymptotic limit for each global strong solution as time goes to infinity and provide an uniform estimate on the convergence rate.

研究动机与目标

• 在二维周期域中，建立全耦合的纳维-斯托克斯与Q-张量系统强解的全局适定性。
• 消除对物理参数ξ的小参数假设，该参数衡量剪切流中取向与转动效应的比值。
• 分析解的长时间行为，特别是当时间趋于无穷时渐近极限的唯一性。
• 推导解趋近其渐近极限的收敛速率的统一估计。
• 证明在一般初值与物理参数下，解在时间上保持一致有界。

提出的方法

• 构建了不可压缩纳维-斯托克斯方程与带各向异性应力及对流-扩散项的非线性抛物Q-张量方程的全耦合系统。
• 在周期域中运用能量估计与分部积分法，推导解范数的先验界。
• 识别并利用能量恒等式中高度非线性项之间的关键抵消，特别是应力项与Q-张量演化项之间。
• 采用单常数近似下的兰道-德热恩斯自由能泛函，以及迹为零且对称的Q-张量来建模分子有序性。
• 通过自由能的变分导数定义分子弛豫项H(Q)，确保热力学一致性。
• 依赖不可压缩性条件及Q与H(Q)的对称性，简化并抵消能量估计中的非线性项。

实验结果

研究问题

• RQ1 在不假设参数ξ较小的条件下，全二维纳维-斯托克斯与Q-张量系统是否可能存在全局强解？
• RQ2 解的长时间行为如何？当t → ∞时，渐近极限是否唯一？
• RQ3 能否为解趋近其渐近极限的过程推导出统一的收敛速率估计？
• RQ4 流体速度与Q-张量演化之间的非线性耦合如何影响能量耗散与正则性？
• RQ5 在能量恒等式中发生了何种抵消，使得即使在强非线性下仍能实现全局存在性？

主要发现

• 全局强解对所有时间存在，且在H^1范数下一致有界，与参数ξ的大小无关。
• 对每个全局强解，当t → ∞时，渐近极限的唯一性得以确立。
• 推导出解趋近渐近极限的显式统一收敛速率估计，表明其随时间代数衰减。
• 能量恒等式中发生了关键抵消——特别是涉及σ、τ和S(∇u, Q)的项之间——使得无需小参数假设即可实现全局估计。
• 系统在所有时间保持Q的对称性与迹为零性，与物理建模约束一致。
• 通过仔细的分部积分及对称迹为零张量的矩阵恒等式的利用，使能量估计得以闭合。