[论文解读] Global Strong Solutions to Incompressible Ericksen-Leslie System in $\mathbb R^3$

Wenya Ma, Jinkai Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2014

Navier-Stokes equation solutions参考文献 7被引用 6

一句话总结

该论文在初始数据满足小量条件的前提下，建立了三维无散 Ericksen-Leslie 系统强解的全局存在性与唯一性：速度与取向场梯度的 $L^2$-范数之积，以及速度与取向场二阶梯度的 $H^1$-半范数之积，必须足够小。该结果通过在临界尺度不变空间中使用能量估计与Bootstrap方法获得。

ABSTRACT

In this paper, we consider the Cauchy problem to the Ericksen-Leslie system of liquid crystals in $\mathbb R^3$. Global well-posedness of strong solutions are obtained under the condition that the product of $\|u_0\|_2+\| abla d_0\|_2$ and $\| abla u_0\|_2+\| abla^2d_0\|_2$ is suitably small. This result can be viewed as a supplement to the local existence and blow up criteria discussed in \cite{Hong1}.

研究动机与目标

• 在 $\mathbb{R}^3$ 中建立无散 Ericksen-Leslie 系统强解的全局适定性。
• 将先前工作 [9] 中建立的局部存在性与爆破准则扩展至在小量条件下的全局存在性。
• 识别出确保解长时间存在与正则性的初始数据临界小量条件。
• 为三维无缺陷向列液晶的动力学提供一个严格的理论框架。

提出的方法

• 通过考察 $\|u\|_{H^1}^2 + \|\nabla d\|_{H^1}^2$ 及更高阶范数的演化，推导系统的能量估计。
• 利用由能量不等式导出的与时间无关的统一有界性，实施Bootstrap论证。
• 利用小量条件的尺度不变性，识别出全局存在性的临界空间。
• 利用 Oseen-Frank 能量结构与取向场方程的梯度流性质，控制非线性项。
• 依赖局部存在性理论与连续性论证，将解全局延拓。
• 通过 Gronwall 型不等式与初始数据的小量假设，建立统一估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 在三维无散 Ericksen-Leslie 系统中，初始数据满足何种小量条件时，可保证存在全局强解？
• RQ2 能否通过能量估计与小量假设，将 [9] 中的局部存在性与爆破准则扩展至全局存在性？
• RQ3 初始数据的小量条件是否具有尺度不变性？其是否对应于全局适定性的临界空间？
• RQ4 Navier-Stokes 方程与调和映射流分量之间的耦合如何影响解的长时间行为？
• RQ5 Oseen-Frank 能量结构在控制系统中非线性项方面起到何种作用？

主要发现

• 当 $(\|u_0\|_2 + \|\nabla d_0\|_2)(\|\nabla u_0\|_2 + \|\nabla^2 d_0\|_2) \leq \varepsilon_0$ 时，三维无散 Ericksen-Leslie 系统存在全局强解，其中 $\varepsilon_0$ 为一个依赖于 $k_1, k_2, k_3$ 的小正数。
• 小量条件在变换 $u_\lambda(x,t) = \lambda u(\lambda x, \lambda^2 t)$，$d_\lambda(x,t) = d(\lambda x, \lambda^2 t)$ 下保持尺度不变，表明解存在于临界空间中。
• 在小量条件下，$u$ 与 $\nabla d$ 的 $H^1$-型估计在整个时间区间上保持一致，且与 $T$ 无关。
• 解在所有时间均保持在 $H^1$-范数有界，从而防止爆破并确保全局存在性。
• 最大存在时间 $T^*$ 被证明为无穷大，与任何有限 $T^*$ 矛盾，从而证明了全局存在性。
• 全局强解的唯一性由局部强解的唯一性推出。