[论文解读] Global symmetric classical and strong solutions of the full compressible Navier-Stokes equations with vacuum and large initial data

Huanyao Wen, Changjiang Zhu|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2011

Navier-Stokes equation solutions参考文献 29被引用 12

一句话总结

该论文在三维或以上空间维度下，针对大初始数据和真空情形，建立了全压缩型可压缩N-S方程对称经典解与强解的全局存在性。通过在较弱的热导率条件 κ = O(1 + θ^q)（其中 q > r，r ≥ 0）下推导出新颖的全局时间先验估计，该研究扩展了先前结果，并给出了基于 L∞(L∞) 与 L4(L12/5) 范数的密度与密度-温度乘积的爆破准则。

ABSTRACT

First of all, we get the global existence of classical and strong solutions of the full compressible Navier-Stokes equations in three space dimensions with initial data which is large and spherically or cylindrically symmetric. The appearance of vacuum is allowed. In particular, if the initial data is spherically symmetric, the space dimension can be taken not less than two. The analysis is based on some delicate {\it a priori} estimates globally in time which depend on the assumption $κ=O(1+θ^q)$ where $q>r$ ($r$ can be zero), which relaxes the condition $q\ge2+2r$ in [14,29,42]. This could be viewed as an extensive work of [18] where the equations hold in the sense of distributions in the set where the density is positive with initial data which is large, discontinuous, and spherically or cylindrically symmetric in three space dimension. Finally, with the assumptions that vacuum may appear and that the solutions are not necessarily symmetric, we establish a blow-up criterion in terms of $\|ρ\|_{L^\infty_tL_x^\infty}$ and $\|ρθ\|_{L^4_tL^(12/5)_x}$ for strong solutions.

研究动机与目标

• 在三维或以上空间维度下，针对大初始数据，建立全可压缩N-S方程经典解与强解的全局存在性。
• 允许初始数据中存在真空，这是可压缩流体动力学中的一个重要挑战。
• 将热导率条件从 q ≥ 2 + 2r 放宽至 q > r，改进了先前结果。
• 在非对称且允许真空的条件下，推导出强解的爆破准则，其形式为 ∥ρ∥L∞tL∞x 与 ∥ρθ∥L4tL12/5x 的范数。
• 将弱解的框架扩展至包含大初始数据与真空情形下的经典解与强解，尤其在对称设定下。

提出的方法

• 利用Sobolev空间中的能量法，推导对称解的全局时间一致先验估计。
• 引入较宽松的热导率假设 κ = O(1 + θ^q)，其中 q > r（r ≥ 0），该假设推广了早期的 q ≥ 2 + 2r 条件。
• 通过涉及 √ρ ˙u、∇θ 与 ∇²θ 的精细能量估计，控制非线性项并实现全局估计的闭合。
• 对所推导的能量估计应用Gronwall不等式，证明时间上的一致有界性。
• 利用插值不等式、Sobolev嵌入定理与H"older不等式控制高阶范数。
• 通过分析 ∥ρ∥L∞tL∞x 与 ∥ρθ∥L4tL12/5x 的增长行为，建立爆破准则，表明当这些范数无界时解将发生爆破。

实验结果

研究问题

• RQ1 在三维或以上空间维度下，对于大初始数据与真空情形，全可压缩N-S方程是否存在全局经典解与强解？
• RQ2 在大初始数据条件下，热导率 κ(θ) 需满足何种条件才能保证解的全局存在性？
• RQ3 将条件从 q ≥ 2 + 2r 放宽至 q > r（r ≥ 0）对解的存在性理论有何影响？
• RQ4 在允许真空且不假设对称性时，强解的精确爆破准则是什么？
• RQ5 在存在真空与大初始数据的条件下，能否将弱解的框架扩展至包含经典解与强解？

主要发现

• 在空间维数 N ≥ 2 时，若热导率满足 κ = O(1 + θ^q) 且 q > r，则全可压缩N-S方程存在全局对称经典解与强解，且初始数据可含真空。
• 与文献[14, 29, 42]中要求的 q ≥ 2 + 2r 相比，条件 q > r（r ≥ 0）是一个显著的放松，显著拓宽了理论的适用范围。
• 建立了爆破准则：只要 ∥ρ∥L∞tL∞x 与 ∥ρθ∥L4tL12/5x 保持有界，强解便保持正则性。
• 关键能量估计 ∫₀ᵗ ∫ |∇θ|² + ∫₀ᵗ ∫ ρ|˙u|² ≤ C 在时间上一致有界，这对全局存在性至关重要。
• 导出了估计 ∫₀ᵗ ∫ |∇²θ|² ≤ C，结合Sobolev嵌入定理，可得 ∥θ∥L∞(0,t;L∞) ≤ C，从而保证温度的正则性。
• 证明依赖于能量估计、Gronwall不等式与插值不等式的精细相互作用，以在时间上全局闭合先验估计。